A3

Aufgabe 5

Gegeben ist das Gleichungssystem

$\begin{array}{cccccccl} I 2 x & + & z & = & 0 \\ II & - 2 y & + & 4 z & = & 0 \\ III & 2 y & - & 5 z & = & 1 \end{array}$ $mit x, y, z \in ℝ$ .

Berechnen Sie die Lösung des Gleichungssystems. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Berechne die Lösung des Gleichungssystems
$\begin{array}{cccccccl} I 2 x & + & z & = & 0 \\ II & - 2 y & + & 4 z & = & 0 \\ III & 2 y & - & 5 z & = & 1 \end{array}$
Addiere Gleichung $II$ und $III \Rightarrow - z = 1 \Rightarrow z = - 1$
Aus Gleichung $I$ folgt dann mit $z = - 1$ : $2 x + (- 1) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
Aus Gleichung $II$ folgt mit $z = - 1$ : $- 2 y + 4 \cdot (- 1) = 0 \Rightarrow y = - 2$
Die Lösung des Gleichungssystems lautet $x = \frac{1}{2}, y = - 2$ und $z = - 1$ .
Löse das Gleichungssystem mit einem Verfahren Deiner Wahl.
Es gibt einen Wert von $r$ mit $r \in ℝ$ , für den das Gleichungssystem
$\begin{array}{cccccccl} I 2 x & + & z & = & 0 \\ II & - 2 y & + & 4 z & = & 0 \\ III & 2 y & - & r z & = & 1 \end{array}$ $mit x, y, z \in ℝ$
keine Lösung besitzt.
Ermitteln Sie diesen Wert. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Ermittele diesen Wert
$\begin{array}{cccccccl} I 2 x & + & z & = & 0 \\ II & - 2 y & + & 4 z & = & 0 \\ III & 2 y & - & r z & = & 1 \end{array}$
Addiere Gleichung $II$ und $III \Rightarrow 4 z - r z = 1 \Rightarrow (4 - r) \cdot z = 1$
Die Gleichung $(4 - r) \cdot z = 1$ hat für $r = 4$ keine Lösung, d.h. das Gleichungssystem hat für $r = 4$ keine Lösung.
Die Addition von Gleichung $II$ und $III$ liefert eine Gleichung, die für einen bestimmten Wert von $r$ keine Lösung hat.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

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Aufgabe 5

Berechne die Lösung des Gleichungssystems

Ermittele diesen Wert