A1

Weise nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft

Wenn die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft, dann muss der Richtungsvektor ${\overrightarrow{u}}_g$ der Geraden $g$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ${\overrightarrow{v}}_E$ und ${\overrightarrow{w}}_E$ der Ebene $E$ verlaufen. Für das Skalarprodukt gilt dann:

${\overrightarrow{u}}_g\circ {\overrightarrow{v}}_g=0$ und ${\overrightarrow{u}}_g\circ {\overrightarrow{w}}_g=0$

$\Rightarrow$$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{l}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)=1\cdot 4+1\cdot 2+(-2)\cdot 3=0✓$

und

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 2+0-2=0✓$

Somit verläuft $g$ senkrecht zu $E$.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$

Setze $g=E$:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{l}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{l}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{l}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{l}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Man erhält dann das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{I}& -1\cdot r& +& 4\cdot s& +& 2\cdot t& =2\\ \mathrm{II}& -1\cdot r& +& 2\cdot s& +& 0\cdot t& =0\\ \mathrm{III}& 2\cdot r& +& 3\cdot s& +& 1\cdot t& =-5\end{array}$

Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $r=2s$

Setze $r=2s$ in Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{III}$ ein:

$\begin{array}{ccccccc}\mathrm{I}& -1\cdot 2s& +& 4\cdot s& +& 2\cdot t& =2\\ \mathrm{III}& 2\cdot 2s& +& 3\cdot s& +& 1\cdot t& =-5\end{array}$

Zusammengefasst folgt:

$\begin{array}{ccccc}{\mathrm{I}}^{\prime }& 2\cdot s& +& 2\cdot t& =2\\ \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 7\cdot s& +& 1\cdot t& =-5\end{array}$

Rechne ${\mathrm{I}}^{\prime }+(-2)\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }:$

$\begin{array}{rrrrrcr}& {\mathrm{I}}^{\prime }:& 2\cdot s& +& 2\cdot t& =& 2\\ & +(-2)\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }:& -14\cdot s& -& 2\cdot t& =& 10\\ & & -12\cdot s& +& 0& =& 12& \end{array}$

Damit ist $s={\displaystyle \frac{12}{-12}}=-1$. Dann folgt $r=2\cdot s=2\cdot (-1)=-2$ und $t=1-s=1-(-1)=2$

Setze $r=-2$ in $g$ ein:

$\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)+(-2)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 3\end{array}\right)\Rightarrow D(0|-1|3)$

Die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ lauten $D(0|-1|3)$.