B4

Aufgabe 1

Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt die Füllmenge jeder Flasche $600 m l$ .

Die Flaschen werden in Kartons verpackt; jeder Karton enthält zwölf Flaschen. Ein Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als $600 m l$ Öl enthält. Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als $600 m l$ Öl enthält, $1,5 %$ .

Die Rechnung ${0,985}^{12} \approx 83,4 %$ stellt im Sachzusammenhang die Lösung einer Aufgabe dar.
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie den Ansatz der Rechnung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung
Aufgabenstellung: „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton alle Flaschen mindestens $600 m l$ Öl enthalten.“
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche mindestens 600 ml Öl enthält, beträgt $1 - 0,015 = 0,985$ , die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Flaschen eines Kartons ( $12$ ) diese Eigenschaft haben, ${0,985}^{12}$ .
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche mindestens $600 m l$ Öl enthält, beträgt $1 - 0,015 = 0,985$ .
$12$ Flaschen sind in einem Karton. Was bedeutet dann ${0,985}^{12}$ ?
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600 m l$ Öl befinden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600 m l$ Öl befinden
$Y$ : Anzahl der Flaschen mit einer Füllmenge von weniger als $600 m l$ .
Berechne: $P_{100; 0,015} (Y = 3) = binomPdf (100; 0,015,3) \approx 0,1259 \approx 12,6 %$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600 m l$ Öl befinden, beträgt rund $12,6 %$ .
$Y$ : Anzahl der Flaschen mit einer Füllmenge von weniger als $600 m l$ .
Berechne: $P_{100; 0,015} (Y = 3)$ .
Es wird eine Flasche nach der anderen geöffnet und die Füllmenge überprüft.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600 m l$ Öl enthält.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600 m l$ Öl enthält
Vor der ersten Flasche mit weniger als $600 m l$ Inhalt müssen drei Flaschen mit mindestens $600 m l$ Inhalt geöffnet worden sein. Daher ist die Wahrscheinlichkeit ${0,985}^{3} \cdot 0,015 \approx 0,014 = 1,4 %$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600 m l$ Öl enthält, beträgt rund $1,4 %$ .
Drei Flaschen mit mindestens $600 m l \Rightarrow p = {0,985}^{3}$ .
Eine Flasche mit weniger als $600 m l$ $\Rightarrow p = 0,015$ .
Bilde das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten.
An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als $780$ Flaschen mindestens $600 m l$ Öl.
Ermitteln Sie die Anzahl der Flaschen, die eine regelmäßige Lieferung mindestens umfasst.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Ermittele die Anzahl der Flaschen, die eine regelmäßige Lieferung mindestens umfasst
Die Anzahl der gelieferten Flaschen ist $n$ .
Dann gilt: $μ = n \cdot p$
Im Mittel enthalten mehr als $780$ Flaschen mindestens $600 ml$ Öl $\Rightarrow μ > 780$ und $p = 1 - 0,015 = 0,985$
( $p$ ist hier die Gegenwahrscheinlichkeit zu der Wahrscheinlichkeit $1,5 %$ , dass sie weniger als $600 ml$ Öl enthält.)
Damit erhältst Du folgende Ungleichung:
$n \cdot 0,985$ $>$ $780$ $: 0,985$
$n$ $>$ $\frac{780}{0,985}$
$n$ $>$ $791,88$
$n$ $\geq$ $792$
Eine regelmäßige Lieferung umfasst mindestens $792$ Flaschen.
Es gilt: $μ = n \cdot p$
Über den Erwartungswert $μ$ heißt es in der Aufgabe: Im Mittel enthalten mehr als $780$ Flaschen mindestens $600 m l$ Öl.
Die Wahrscheinlichkeit $p$ ist hier die Gegenwahrscheinlichkeit zu der Wahrscheinlichkeit $1,5 %$ , dass sie weniger als $600 m l$ Öl enthält.
Erstelle eine Ungleichung und löse sie.
Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von $150$ Kartons.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind
$Y$ : Anzahl der fehlerhaften Kartons
$Y$ ist binomialverteilt mit $n = 150$ und $p = P (X > 1)$
$p = P (X > 1) = binomCdf (12,0.015,2,12) \approx 0,0134$
$3 %$ von $150$ Kartons sind $4,5 \Rightarrow$ mehr als $3 %$ sind demnach $5$ Kartons oder mehr, die fehlerhaft sind.
Berechne $P (Y \geq 5) = binomCdf (150,0.0134,5,150) \approx 0,0523$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind, beträgt rund $5 %$ .
$Y$ : Anzahl der fehlerhaften Kartons und $Y$ ist binomialverteilt mit $n = 150$ und $p = P (X > 1)$
Berechne $p$ .
Berechne $3 %$ von $150$ und überlege, was mehr als $3 %$ bedeutet.
Berechne $P (Y \geq 5)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

$n \cdot 0,985$	$>$	$780$	$: 0,985$
$n$	$>$	$\frac{780}{0,985}$
$n$	$>$	$791,88$
$n$	$\geq$	$792$

B4

Aufgabe 1

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 100 Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als 600 ml Öl befinden

Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als 600 ml Öl enthält

Ermittele die Anzahl der Flaschen, die eine regelmäßige Lieferung mindestens umfasst

Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3% der Kartons fehlerhaft sind

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter $100$ Flaschen genau drei Flaschen mit weniger als $600 m l$ Öl befinden

Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte geöffnete Flasche die erste überprüfte Flasche ist, die weniger als $600 m l$ Öl enthält

Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3 %$ der Kartons fehlerhaft sind