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A2

Aufgabe 2

Betrachtet wird die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = e^{(x^{2})}$ .

Geben Sie die Wertemenge von $f$ an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge
Gib die Wertemenge von $f$ an
Der kleinste Funktionswert ist $f (0) = e^{0} = 1$ .
$\Rightarrow$ Wertemenge: $y \in ℝ, y \geq 1$ .
Kleinster Funktionswert ist $f (0) = e^{0} = 1$ .
Für die erste Ableitungsfunktion $f^{'}$ von $f$ gilt $f^{'} (x) = 2 x \cdot f (x)$ .
Die Graphen von $f$ und $f^{'}$ schneiden sich in einem Punkt.
Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt
Bekannt ist: Für die erste Ableitungsfunktion $f^{'}$ von $f$ gilt $f^{'} (x) = 2 x \cdot f (x)$ .
Die Graphen von $f$ und $f^{'}$ schneiden sich in einem Punkt.
Setze $f (x) = f^{'} (x) \Rightarrow f (x) = 2 x \cdot f (x) \overset{\overset{}{f (x) \neq 0}}{\to} 1 = 2 x \Rightarrow x = \frac{1}{2} .$
Die Steigung des Graphen von $f$ in dem Punkt $(\frac{1}{2} | f (\frac{1}{2}))$ ist dann:
$f^{'} (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{{(\frac{1}{2})}^{2}} = e^{\frac{1}{4}}$ .
Die Steigung im Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f^{'}$ ist $e^{\frac{1}{4}}$ .
Setze $f (x) = f^{'} (x)$ und bestimme $x$ .
Setze den berechneten $x$ -Wert in $f^{'} (x)$ ein.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org