Teil B-Aufgabengruppe I

Bestimmen der Definitionsmenge.

Im Nenner eines Bruches darf nicht Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in die Gleichung im Nenner Null ergibt, dürfen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein.

Setze jeden der Nenner gleich Null.

$8\mathrm{x}+16=0$

$8\mathrm{x}=-16\Rightarrow \mathrm{x}=-2$

$2\mathrm{x}+4=0$

$2\mathrm{x}=-4\Rightarrow \mathrm{x}=-2$

Der Nenner wird Null bei:

$\mathrm{x}=-2\Rightarrow \mathrm{D}=ℝ\setminus \{-2\}$

Lösen der Bruchgleichung:

${\displaystyle \frac{32}{8x+16}}={\displaystyle \frac{5x}{2x+4}}$

Benutze zur Lösung der quadratischen Gleichung die Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel lautet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}$

einsetzen der Werte in die Mitternachtsformel und berechnen von ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,4}\pm \sqrt{\mathrm{0,16}+\mathrm{12,8}}}{2}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,4}\pm \sqrt{\mathrm{12,96}}}{2}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,4}\pm \mathrm{3,6}}{2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=-2$und${\mathrm{x}}_2=\mathrm{1,6}$

${\mathrm{x}}_1$ müssen wir als Lösung ausschließen, da $-2$ nicht in der Definitionsmenge enthalten ist.

Die Lösungsmenge ist dann: $𝕃=\{\mathrm{1,6}\}$

Alternative Lösung zur Bestimmung der Lösungsmenge

Kürze den ersten Bruch mit $4$, dann wird

$${\displaystyle {\displaystyle \frac{32}{8x+16}}={\displaystyle \frac{5x}{2x+4}}}$$ zu $${\displaystyle {\displaystyle \frac{8}{2x+4}}={\displaystyle \frac{5x}{2x+4}}}$$.

Zwei Brüche mit demselben Nenner sind genau dann gleich, wenn die Zähler gleich sind, also $8=5x$. Division durch $5$ ergibt $x=\mathrm{1,6}$, also $𝕃=\{\mathrm{1,6}\}.$