Teil B-Aufgabengruppe I

Eine Messingkugel soll in einem würfelförmigen Behälter aufbewahrt werden.

Der Würfel hat ein Innenvolumen von $100 {cm}^{3}$ . Die Kugel hat eine Masse

von $550 g$ , wobei $1 {cm}^{3}$ Messing eine Masse von $8,73 g$ hat.

Begründen Sie nachvollziehbar, ob die Kugel in den Behälter passt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformeln

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Würfels lautet:

$V_{W \ddot{u} r f e l} = a \cdot a \cdot a = a^{3}$

Wir lösen die Formel nach $a$ auf.

$a = \sqrt[3]{V_{W \ddot{u} r f e l}}$

$a = \sqrt[3]{100} c m \Rightarrow a \approx 4,64 cm$

Von der Kugel sind folgende Größen bekannt,

die Masse der Kugel $m = 550 g$ und die Masse von $1 {cm}^{3}$ Messing $= 8,73 g$

d.h. die Dichte von Messing beträgt: $ρ = 8,73 \frac{g}{c m^{3}}$

Damit wir den Durchmesser der Kugel berechnen können, müssen wir zuerst das Volumen der Kugel mithilfe der bekannten Größen berechnen.

Die Formel zur Berechnung der Dichte lautet:

$ρ = \frac{m}{V}$ ; wir lösen die Formel nach $V$ auf.

$V = \frac{m}{ρ}$ ; wir setzen die bekannten Größen ein und berechnen das Volumen der Kugel.

$V_{K u g e l} = \frac{550 g \cdot c m^{3}}{8,73 g} \Rightarrow V_{K u g e l} \approx 63 c m^{3}$

Jetzt können wir den Durchmesser der Kugel berechnen, wir lösen die Formel

$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$ nach $r$ auf.

$r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V_{K u g e l}}{4 \cdot π}}$

$r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 63 c m^{3}}{4 \cdot π}} \Rightarrow r \approx 2,47 c m$

Der Durchmesser der Kugel beträgt dann ungefähr $4,94 cm$ .

Die Kugel passt also nicht in den Würfel, da der Durchmesser der Kugel größer ist, als die Kantenlänge des Würfels.