B2

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Betrachtet wird die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $l_{a; b}$ mit

$l_{a; b} (x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^{2} \cdot {(1 - \frac{x}{b})}^{3} und a, b \in ℝ, a > 0, b > 0.$

Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen von $l_{a; b}$ und die Art dieser Extremstellen in Abhängigkeit von $b$ . (4 P)
[Zur Kontrolle: Der einzige lokale Hochpunkt des Graphen von $l_{a; b}$ befindet sich an der Stelle $x = 0,4 \cdot b$ .]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme die lokalen Extremstellen von $l_{a; b}$ und die Art dieser Extremstellen in Abhängigkeit von $b$
Anmerkung: Für die Eingabe beim CAS wurde $l_{a; b} (x)$ mit $l (x)$ abgekürzt.
Aus der notwendigen Bedingung $l_{a; b}^{'} (x) = 0$ ergeben sich für $a > 0$ die drei möglichen Extremstellen $x = 0 \lor x = 0,4 \cdot b \lor x = b$ .
Da $a > 0$ und $b > 0$ ⁣ ist, gilt für die zweiten Ableitungen: $l_{a; b}^{''} (0) = \frac{32 \cdot a}{b} > 0$ und $l_{a; b}^{''} (0,4 \cdot b) = - \frac{288 \cdot a}{25 \cdot b} < 0$
Somit verfügt der Graph von $l_{a; b}$ an der Stelle $0$ über einen Tiefpunkt und an der Stelle $0,4 \cdot b$ über einen Hochpunkt (siehe auch bei a) zur Kontrolle).
An der Stelle $x = 0,4 \cdot b$ liegt ein Hochpunkt vor und bei $x = b$ ist $l_{a; b}^{''} (b) = 0$ .
Weiterhin gilt: für $x \to \infty$ geht $l_{a; b} (x) \to - \infty$ , daher verfügt der Graph von $l_{a; b}$ an der Stelle $b$ über einen Sattelpunkt.
Löse $l^{'} (x) = 0 \Rightarrow x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ .
Statt die zweite Ableitung zu berechnen, kann auch graphisch interpretiert werden.
Für geeignete Parameter $a_{s}$ und $b_{s}$ ist die Funktion $l_{a_{s} b_{s}}$ identisch mit der Funktion $s$ $(𝑎𝑢𝑠 𝐴𝑢𝑓𝑔𝑎𝑏𝑒 1 : s (x) = {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot (4 - x)^{3})$
Bestimmen Sie die Parameter $a_{s}$ und $b_{s}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameter und Koeffizient
Bestimme die Parameter $a_{s}$ und $b_{s}$
Gegeben sind $s (x) = {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot (4 - x)^{3}$ und $l_{a_{s} b_{s}} (x) = 16 \cdot \frac{a_{s}}{b_{s}} \cdot x^{2} \cdot {(1 - \frac{x}{b_{s}})}^{3}$ .
Da sich der Stau in Aufgabe 1 nach vier Stunden aufgelöst hat und die größere Nullstelle von $l_{a; b}$ bei $b$ liegt, muss $b_{s} = 4$ sein.
Der Koeffizientenvergleich liefert weiterhin:
$\Rightarrow {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot (4 - x)^{3} = 16 \cdot \frac{a_{s}}{4} \cdot x^{2} \cdot {(1 - \frac{x}{4})}^{3} = 4 \cdot a_{s} \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{64} \cdot {(4 - x)}^{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{16} \cdot x^{2} \cdot (4 - x)^{3} = a_{s} \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{16} \cdot {(4 - x)}^{3} \Rightarrow a_{s} = 1$
Die Parameter sind $a_{s} = 1$ und $b_{s} = 4$ .
Für $a_{s} = 1$ und $b_{s} = 4$ sind die Funktionen $l_{a_{s} b_{s}}$ und $s$ identisch.
Da sich der Stau in Aufgabe 1 nach vier Stunden aufgelöst hat und die größere Nullstelle von $l_{a; b}$ bei $b$ liegt, muss $b_{s} = 4$ sein.
Setze $b_{s} = 4$ in $l_{a; b}$ ein und vergleiche dann die Koeffizienten mit $s$ .
Eine Verkehrszentrale überwacht den Autobahnverkehr in der Umgebung. Die Computersysteme der Verkehrszentrale erhalten ständig Daten von Sensoren und Kameras, die von einer Software verarbeitet werden.
Die Software modelliert Staulängen mit den Funktionen $l_{a; b}$ . Dabei gibt $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die vergangene Zeit in Stunden ab der Entstehung des Staus und $l_{a; b} (x)$ die Staulänge in Kilometer an.
Auf einem Display wird ein Stau angezeigt, der um 06:00 Uhr entstanden ist.
Für die Modellierung dieses Staus verwendet die Software die Parameter $a = 2,4$ und $b = 12$ .
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die vorhergesagte Staulänge erstmals nach der Entstehung $10$ Kilometer beträgt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die vorhergesagte Staulänge erstmals nach der Entstehung $10$ Kilometer beträgt
Mit den gegebenen Parametern muss die Gleichung $l_{2.4,12} (x) = 10$ gelöst werden:
Die Gleichung $l_{2,4,12} (x) = 10$ hat die Lösungen $x \approx - 1,5, x \approx 2,5$ und $x \approx 7,4$ .
Auf einem Display wird ein Stau angezeigt, der um 06:00 Uhr entstanden ist.
Die Staulänge von $10$ Kilometern wird demnach erstmals um 06:00 Uhr plus 2,5 Stunden, also um ca. 08:30 Uhr erreicht.
Mit den gegebenen Parametern muss die Gleichung $l_{2.4,12} (x) = 10$ gelöst werden. $\Rightarrow x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ .
Bei der ersten positiven Lösung der Gleichung wird die Staulänge von $10$ Kilometern erstmals erreicht.
Um 06:40 Uhr schaltet eine Mitarbeiterin der Verkehrszentrale eine Reihe von computergesteuerten Verkehrszeichen - ein sogenanntes Leitsystem - ein, die bei der Reduzierung des Staus helfen sollen. Dadurch ändern sich die Parameter der Modellierung für die Zeit nach 06:40 Uhr auf $a = 1,75$ und $b = 8$ .
Berechnen Sie, um wie viel Prozent die vorausgesagte maximale Staulänge durch das Einschalten des Leitsystems reduziert wird. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Berechne, um wie viel Prozent die vorausgesagte maximale Staulänge durch das Einschalten des Leitsystems reduziert wird
Für $a = 2,4$ und $b = 12$ ist $l_{2,4; 12} (x) = 16 \cdot \frac{2,4}{12} \cdot x^{2} \cdot {(1 - \frac{x}{12})}^{3}$ .
Der Hochpunkt liegt an der Stelle $x = 0,4 b = 0,4 \cdot 12 = 4,8$ vor.
$\Rightarrow l_{2,4; 12} (4,8) = 16 \cdot \frac{2,4}{12} \cdot (4,8)^{2} \cdot {(1 - \frac{4,8}{12})}^{3} \approx 15,9$
Für $a = 1,75$ und $b = 8$ ist $l_{1,75; 8} (x) = 16 \cdot \frac{1,75}{8} \cdot x^{2} \cdot {(1 - \frac{x}{8})}^{3}$ .
Der Hochpunkt liegt an der Stelle $x = 0,4 b = 0,4 \cdot 8 = 3,2$ vor.
$\Rightarrow l_{1,75; 8} (3,2) = 16 \cdot \frac{1,75}{8} \cdot (3,2)^{2} \cdot {(1 - \frac{3,2}{8})}^{3} \approx 7,7$
Für die prozentuale Reduktion gilt dann:
$\frac{15,9 - 7,7}{15,9} \approx 0,52 = 52 %$
Die von der Software vorhergesagte Staulänge reduziert sich durch den Einsatz des Leitsystems um ca. $52 %$ .
Berechne für $a = 2,4$ und $b = 12$ den $y_{1}$ -Wert von $H P$ .
Berechne für $a = 1,75$ und $b = 8$ den $y_{2}$ -Wert von $H P$ .
Dann ist die gesuchte prozentuale Reduktion $\frac{y_{1} - y_{2}}{y_{1}}$
Zusätzlich zum Leitsystem soll ein Polizeieinsatz bei der Reduzierung des Staus helfen. Die Polizei will dafür sorgen, dass die Staulänge ab 11:00 Uhr konstant mit der Änderungsrate abnimmt, die die Software für 11:00 Uhr vorhersagt.
(i) Ermitteln Sie unter diesen Voraussetzungen grafisch anhand von Abbildung 2, wann sich der Stau aufgelöst haben wird. (2 P)
(ii) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus (i) durch eine geeignete Rechnung. (4 P)
Abbildung 2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
(i) Ermittele unter diesen Voraussetzungen grafisch anhand von Abbildung 2, wann sich der Stau aufgelöst haben wird
Die Staulänge ist ab 11:00 Uhr konstant, d.h. bei $x = 5$ muss eine Tangente an den Graphen von $l_{1,75; 8}$ gezeichnet werden.
Tangente an Graph
Die Tangente schneidet die x-Achse bei etwa $6,67$ , d.h. der Stau wird sich gegen 6:00 Uhr + 6 Stunden und 40 Minuten $=$ 12:40 Uhr aufgelöst haben.
(ii) Überprüfe Dein Ergebnis aus (i) durch eine geeignete Rechnung
Berechne $l_{1.75,8} (5)$ und $l_{1.75,8}^{'} (5)$ :
Demnach ist $l_{1.75,8} (5) = \frac{4725}{1024} \approx 4,614$ und $l_{1.75,8}^{'} (5) = - \frac{2835}{1024} \approx - 2,769$ .
Für die Tangente gilt:
$t : y = m \cdot x + b \Rightarrow \frac{4725}{1024} = - \frac{2835}{1024} \cdot 5 + b \Rightarrow b = \frac{4725}{256} \approx 18,457$
$t : y = - \frac{2835}{1024} \cdot x + \frac{4725}{256} \approx - 2,769 \cdot x + 18,457$
Die x-Achse wird bei $x = \frac{\frac{4725}{256}}{\frac{2835}{1024}} = \frac{20}{3} \approx 6,667$ geschnitten.
06:00 Uhr plus 6 Stunden und 40 Minuten ergibt 12:40 Uhr.
Die Rechnung bestätigt, dass sich der Stau gegen 12:40 Uhr aufgelöst haben wird.
(i)
Die Staulänge ist ab 11:00 Uhr konstant, d.h. bei $x = 5$ muss eine Tangente an den Graphen von $l_{1,75; 8}$ gezeichnet werden.
Die Tangente schneidet die x-Achse bei etwa $x_{1}$ , d.h. der Stau wird sich gegen 6:00 Uhr + $x_{1}$ aufgelöst haben.
(ii)
Berechne $l_{1,75; 8} (5)$ und $l_{1,75; 8}^{'} (5) = m_{T}$ .
Bestimme die Tangentengleichung $t : y = m_{T} \cdot x + b$ .
Berechne den Schnittpunkt von $t$ mit der x-Achse.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

B2

Aufgabe 2

Bestimme die lokalen Extremstellen von la;b und die Art dieser Extremstellen in Abhängigkeit von b

Bestimme die Parameter as und bs

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die vorhergesagte Staulänge erstmals nach der Entstehung 10 Kilometer beträgt

Berechne, um wie viel Prozent die vorausgesagte maximale Staulänge durch das Einschalten des Leitsystems reduziert wird

(i) Ermittele unter diesen Voraussetzungen grafisch anhand von Abbildung 2, wann sich der Stau aufgelöst haben wird

(ii) Überprüfe Dein Ergebnis aus (i) durch eine geeignete Rechnung

Bestimme die lokalen Extremstellen von $l_{a; b}$ und die Art dieser Extremstellen in Abhängigkeit von $b$

Bestimme die Parameter $a_{s}$ und $b_{s}$

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die vorhergesagte Staulänge erstmals nach der Entstehung $10$ Kilometer beträgt