A2

Aufgabe 5

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ . Für den Erwartungswert $μ$ und die Standardabweichung $σ$ von $X$ gilt: $μ = 60, σ = 6$ .

Berechnen Sie $p$ und $n$ . (2 P + 1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne $p$ und $n$
Gegeben sind $μ = n \cdot p = 60$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = 6$
$\Rightarrow \sqrt{60 \cdot (1 - p)} = 6 \Leftrightarrow 60 \cdot (1 - p) = 36$
$\Rightarrow 1 - p = \frac{36}{60} = 0,6 \Rightarrow p = 0,4$
Dann folgt:
$n = \frac{60}{p} = \frac{60}{0,4} = 150$
Die Werte sind $n = 150$ und $p = 0,4$ .
Gegeben sind $μ = n \cdot p = 60$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{60 \cdot (1 - p)} = 6$ .
Löse die Gleichung nach $p$ auf und berechne dann $n$ .
In einer Urne befinden sich $4$ schwarze und $6$ weiße Kugeln. Aus der Urne wird mit Zurücklegen $150$ -mal eine Kugel gezogen.
(i) Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau $60$ -mal eine schwarze Kugel gezogen wird. (1 P)
(ii) Beschreiben Sie ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von
${0,4}^{5} \cdot (\binom{145}{55}) \cdot {0,4}^{55} \cdot {0,6}^{90}$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
(i) Gib einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau $60$ -mal eine schwarze Kugel gezogen wird
Gegeben sind $p_{schwarz} = 0,4$ , $n = 150$ und $k = 60$ .
Es ist $P_{150; 0,4} (X = 60) = (\binom{150}{60}) \cdot {0,4}^{60} \cdot {0,6}^{90}$ .
(ii) Beschreibe ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von ${0,4}^{5} \cdot (\binom{145}{55}) \cdot {0,4}^{55} \cdot {0,6}^{90}$
Beispiel: Von den $150$ gezogenen Kugeln sind die ersten fünf schwarz. Von den weiteren $145$ gezogenen Kugeln sind genau $55$ schwarz.
(i)
Gib den Term für $P_{150; 0,4} (X = 60)$ an.
(ii)
Gegeben sind $p_{schwarz} = 0,4$ , $n = 150$ und $k = 60$ .
Der erste Faktor des gegebenen Terms ist ${0,4}^{5}$ . Welche Bedeutung hat dieser Faktor?
Der zweite Faktor ist der Term $(\binom{145}{55}) \cdot {0,4}^{55} \cdot {0,6}^{90}$ . Welche Bedeutung hat dieser Term?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

A2

Aufgabe 5

Berechne p und n

(i) Gib einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau 60-mal eine schwarze Kugel gezogen wird

(ii) Beschreibe ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von0,45⋅(14555)⋅0,455⋅0,690

Berechne $p$ und $n$

(i) Gib einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau $60$ -mal eine schwarze Kugel gezogen wird

(ii) Beschreibe ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von ${0,4}^{5} \cdot (\binom{145}{55}) \cdot {0,4}^{55} \cdot {0,6}^{90}$