A1

Aufgabe 5

Gegeben sind die Punkte $A (- 1 | 3 | 2), B (1 | 2 | 4)$ und $C (2 | 4 | - 1)$ .

Untersuchen Sie, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Untersuche, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt
Gegeben sind die Punkte $A (- 1 | 3 | 2), B (1 | 2 | 4)$ und $C (2 | 4 | - 1)$ .
Berechne die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ :
$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
$\vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
Wenn ein rechter Winkel bei $A$ vorliegt, dann muss das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ gleich null sein.
$\vec{A B} \circ \vec{A C} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) = 2 \cdot 3 + (- 1) \cdot 1 + 2 \cdot (- 3) = - 1 \neq 0$
Das Dreieck besitzt keinen rechten Winkel bei $A$ .
Berechne die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ .
Wenn ein rechter Winkel bei A vorliegt, dann muss das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ gleich null sein.
$g$ ist die Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ .
Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9 LE$ vom Punkt $A$ .
Ermitteln Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9 LE$ vom Punkt $A$ . Ermittele die Koordinaten von $P$ und $Q$ .
Es ist $\vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$ und $| \vec{A B} | = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$ .
Für den Abstand $9 LE$ vom Punkt $A$ muss zum Vektor $\vec{O A}$ dreimal der Vektor $\vec{A B}$ addiert oder subtrahiert werden.
$\vec{O P} = \vec{O A} + 3 \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 8 \end{array}) \Rightarrow P (5 | 0 | 8)$
$\vec{O Q} = \vec{O A} - 3 \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 6 \\ - 4 \end{array}) \Rightarrow Q (- 7 | 6 | - 4)$
Die Koordinaten von $P$ und $Q$ sind $P (5 | 0 | 8)$ und $Q (- 7 | 6 | - 4)$ .
Berechne $| \vec{A B} |$ .
Für den Abstand $9 LE$ vom Punkt $A$ muss zum Vektor $\vec{O A}$ der Vektor $\vec{A B}$ $(\frac{9}{| \vec{A B} |})$ -mal addiert oder subtrahiert werden.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

A1

Aufgabe 5

Untersuche, ob das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei A besitzt

Die Punkte P und Q liegen auf g und haben den Abstand 9LE vom Punkt A. Ermittele die Koordinaten von P und Q.

Untersuche, ob das Dreieck $A B C$ einen rechten Winkel bei $A$ besitzt

Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf $g$ und haben den Abstand $9 LE$ vom Punkt $A$ . Ermittele die Koordinaten von $P$ und $Q$ .