A1

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt

Gegeben sind $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ und $A(4|0|0)$.

Betrachte die $x_2$- Koordinate von $g$ und von $A$:

Alle Punkte von $g$ haben die $x_2$-Koordinate $3$, $A$ hat aber die $x_2$-Koordinate $0$.

Deshalb gilt: $A\in ̸g$.

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittele den Wert von $b$

Gegeben: Gerade $h$ durch die Punkte $A(4|0|0)$ und $B(5|1|b)$.

Erstelle die Geradengleichung von $h$:

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot (\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ b\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\end{array}\right)$

Setze $g=h$:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\end{array}\right)$

Gleichung $\mathrm{II}$ liefert $r=3$.

$r=3$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{I}$ ergibt: $2+s=4+3\cdot 1\Rightarrow s=7-2=5$.

$r=3$ und $s=5$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{III}$ ergibt:

$-7+5\cdot 5=3\cdot b\Rightarrow 18=3\cdot b\Rightarrow b={\displaystyle \frac{18}{3}}=6$

Der Wert von $b$ beträgt $6$.