Teil B-Aufgabengruppe I

Rechnerische Ermittlung der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_1$ in der Normalform.

Der Scheitel der Parabel ${\mathrm{p}}_1$ist laut Abbildung: ${\mathrm{S}}_1(2|5)$

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{d}{)}^2+\mathrm{e}$

Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-2{)}^2+5$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\mathrm{a}=-1$

ausmultiplizieren der Scheitelform:

$\mathrm{y}=-({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4)+5$

auflösen der Klammer und zusammenfassen:

$\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1$

die Normalform ist dann:

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1$

Ermitteln der Funktionsgleichung der, an der x-Achse gespiegelten Parabel ${\mathrm{p}}_1$.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-2{)}^2+5$

Spiegeln der Parabel ${\mathrm{p}}_1$ an der $\text{x}$-Achse.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-1\cdot [-(\mathrm{x}-2{)}^2+5)]$

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-2{)}^2-5$

Die Scheitelform der Parabel ${\mathrm{p}}_2$ ist dann:

$\mathrm{y}=(\mathrm{x}-2{)}^2-5$

Berechnen der $x$-Koordinaten der Punkte ${\mathrm{N}}_1$ und ${\mathrm{N}}_2$.

Anwenden der Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel lautet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}$

Einsetzen der Werte aus ${\mathrm{p}}_3$.

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{8-6}{2\cdot 1}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=1$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{8+6}{2\cdot 1}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_2=7$

Die x-Koordinaten der Punkte ${\mathrm{N}}_1$ und ${\mathrm{N}}_2$ sind:

${\mathrm{x}}_1=1{\mathrm{x}}_2=7$

Überprüfen, ob die Punkte $\mathrm{A}(4|-8)$ und $\mathrm{B}(10|27)$ auf der Parabel ${\mathrm{p}}_3$ liegen.

Einsetzen der $\text{x}$-Koordinaten des Punkts $\text{A}$ in ${\mathrm{p}}_3$.

$\mathrm{y}=4^2-8\cdot 4+7$

$\mathrm{y}=-9\Rightarrow$ Der Punkt $\text{A}$ liegt nicht auf der Parabel ${\mathrm{p}}_3$.

Einsetzen der $\text{x}$-Koordinaten des Punkts $\text{B}$ in ${\mathrm{p}}_3$.

$\mathrm{y}={10}^2-8\cdot 10+7$

$\mathrm{y}=27\Rightarrow$Der Punkt $\text{B}$ liegt auf der Parabel${\mathrm{p}}_3$ .

Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte von $\text{g}$ und ${\mathrm{p}}_4$ .

Gleichsetzen von $\text{g}$ und ${\mathrm{p}}_4$.

Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel lautet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1)\cdot 3}}{2\cdot (-1)}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{1}6}{-2}}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{-2+4}{-2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=-1$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{-2-4}{-2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_3=3$

Berechnen die $\text{y}$-Koordinaten indem Du ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}$ z. B. in die Geradengleichung $\text{g}$ einsetzt.

$\mathrm{g}:\mathrm{y}=\mathrm{x}-9$

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_1$ und berechnen von ${\mathrm{y}}_1$

${\mathrm{y}}_1=-1-9$

${\mathrm{y}}_1=-10$

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_2$ und berechnen von ${\mathrm{y}}_2$

${\mathrm{y}}_2=3-9$

${\mathrm{y}}_2=-6$

Die Koordinaten der Schnittpunkte sind:

$\mathrm{C}(-1|-10)$ und $\mathrm{D}(3|-6)$

Einzeichnen der Parabeln ${\mathrm{p}}_3$ und ${\mathrm{p}}_4$ in ein Koordinatensystem.