Teil B: Vektorielle Geometrie

Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an

Der Punkt $A$ liegt auf der x-Achse, senkrecht unter dem Punkt $D(6|0|5)$.

Demnach gilt: $A(6|0|0)$.

Die Koordinaten des Punktes $A$ sind $(6|0|0)$.

Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $DEF$ bei $D$

Mit $\alpha$ wird der Innenwinkel des Dreiecks $DEF$ bei $D$ bezeichnet.

Dann gilt:

$\begin{array}{rl}& \cos (\alpha )=\frac{\overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{DE}|\cdot |\overrightarrow{DF}|}\end{array}$

Berechne die Vektoren und ihre Beträge:

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{DE}|=\sqrt{(-6{)}^2+8^2+0}=\sqrt{100}=10$

$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{DF}|=6$

Setze die berechneten Größen in den Kosinus ein:

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)}{10\cdot 6}}={\displaystyle \frac{36}{60}}=\mathrm{0,6}$

$\Rightarrow \alpha ={\cos }^{-1}(\mathrm{0,6})\approx {\mathrm{53,13}}^{\circ }$

Die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $DEF$ bei $D$ beträgt rund ${\mathrm{53,13}}^{\circ }$.

Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas

Für die Oberflächenberechnung werden verschiedene Vektoren und ihre Beträge benötigt.

Aus Aufgabe a) folgt:

$\overrightarrow{DE}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 8\\ 0\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{DE}|=10$

$\overrightarrow{DF}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{DF}|=6$

Berechne weiter:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 0\end{array}\right)\\ |\overrightarrow{FE}|=8\end{array}$

Die Höhe des Prismas ist $h=5$.

Dann folgt für den Oberflächeninhalt des Prismas:

$O_{\text{Prisma}}=|\overrightarrow{DF}|\cdot h+|\overrightarrow{EF}|\cdot h+|\overrightarrow{DE}|\cdot h+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot |\overrightarrow{DF}|\cdot |\overrightarrow{EF}|$

$O_{\text{Prisma}}=(6+8+10)\cdot 5+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\cdot 8=168$

Der Inhalt der Oberfläche des Prismas beträgt $168\text{FE}$.

Begründe, dass die Punkte $D,E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DM},\overrightarrow{FM}$ und $\overrightarrow{EM}$, sowie ihre Beträge.

$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OD}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{DM}|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$

$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{FM}|=\sqrt{3^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$

$\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OE}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$

$|\overrightarrow{EM}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+0}=\sqrt{25}=5$

Es gilt: $|\overrightarrow{DM}|=|\overrightarrow{FM}|=|\overrightarrow{EM}|=5$

Alle Punkte liegen zusammen mit $M$ in einer Ebene und haben den gleichen Abstand $5$ vom Punkt $M$ und liegen deshalb auf einem Kreis um $M$ mit dem Radius $5$.