Heft 2 - B1

Im rechtwinkligen Dreieck $A B C$ sind die Seitenlängen $a = 7,5 c m$ und

$b = 5 c m$ bekannt und die Winkelhalbierende $w$ ist eingezeichnet.

Zeige rechnerisch, dass die Größe des Winkels $β$ ungefähr $33,7 °$
beträgt. \2P.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen des Winkels $β$ mit Hilfe des Tangens.
$t a n (β) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
Im Dreieck $ABC$ gilt: $G e g e n k a t h e t e = b = 5 cm$
$A n k a t h e t e = a = 7,5 cm$
Setze die Werte in die Formel ein und berechne den Winkel $β$ .
$t a n (β) = \frac{5}{7,5} \Rightarrow β \approx {33,7}^{\circ}$
Der Winkel $β$ beträgt ungefähr ${33,7}^{\circ}$
Berechne mit Hilfe des Tangens den Winkel $β$ .
Berechne die Länge der Strecke $w$ , die den Winkel $β$ halbiert. \2P.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen der Länge der Strecke $w$ mit Hilfe des Kosinus.
$c o s (\frac{β}{2}) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
Im Dreieck $DBC$ gilt: $A n k a t h e t e = a = 7,5 cm$
$H y p o t e n u s e = w$
$(\frac{β}{2}) = {16,85}^{\circ}$
Löse die Formel nach der Hypotenuse $(w)$ auf und berechne die Länge der Seite $w$ .
$w = \frac{A n k a t h e t e}{(\cos \frac{β}{2})} \Rightarrow w = \frac{7,5}{\cos {16,85}^{\circ}} [c m]$
$w \approx 7,84 cm$
Die Länge der Seite $w$ beträgt ungefähr $7,84 cm$
Berechne mit Hilfe des Kosinus die Länge der Strecke $w$ . Die Strecke $w$ ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks $DBC$ .
Zeige, dass die Winkelhalbierende $w$ die Seite $A C$ nicht halbiert. \2P.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen der Seite $D C$ mit Hilfe des Tangens.
$t a n (β) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$
Im Dreieck $DBC$ gilt: $G e g e n k a t h e t e = D C$
$A n k a t h e t e = a = 7,5 cm$
Löse die Formel nach der Gegenkathete $(D C)$ auf und berechne die Länge der Seite $D C$ .
$D C = a \cdot \tan (\frac{β}{2}) \Rightarrow D C = 7,5 \cdot 0,3029 [c m]$
$D C \approx 2,27 cm$
$\frac{A C}{2} = 2,5 cm$
$2,27 < 2,5$
Die Strecke $D C$ ist nicht halb so lang wie die Strecke $A C$ .

Berechne die die Länge der Seite $D C$ mit Hilfe des Tangens.
Hinweis:
Da das Dreieck $DBC$ rechtwinklig ist und die Länge der Hypotenuse $w$ und einer Kathete $a$ bekannt sind, kannst Du die Länge der Seite $D C$ auch mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org