Teil A: Wahlpflichtteil

Aufgabe 3

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_{a} : 2 a x_{1} - 4 x_{2} + (a - 2) \cdot x_{3} = 12$ mit $a \in ℝ$ .

Ermitteln Sie denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $\vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ und $b \in ℝ$ verläuft. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Geraden $g$ verläuft
Wenn $g ∥ E_{a}$ , dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_{a}$ stehen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
$\Rightarrow (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 a \\ - 4 \\ a - 2 \end{array}) = 0 \Rightarrow - 2 a + 0 + a - 2 = 0 \Rightarrow a = - 2$
Für $a = - 2$ verläuft $E_{- 2}$ parallel zur Geraden $g$ .
Wenn $g ∥ E_{a}$ , dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_{a}$ stehen.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
Prüfen Sie, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} = 24$ zur Schar gehört. (3 P)
Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} = 24$ zur Schar gehört
Gegeben ist $E_{a} : 2 a x_{1} - 4 x_{2} + (a - 2) \cdot x_{3} = 12$
Multipliziere die Gleichung der Ebene $E_{a}$ mit $2$ , damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind:
$2 \cdot E_{a} : 4 a x_{1} - 8 x_{2} + 2 \cdot (a - 2) \cdot x_{3} = 24$
Nun wird ein Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durchgeführt:
1. Koeffizient:
$6 = 4 a \Rightarrow a = 1,5$
2. Koeffizient:
$- 8 = - 8 ✓$
3. Koeffizient:
$1 = 2 \cdot (a - 2) = 2 a - 4 \Rightarrow 5 = 2 a \Rightarrow a = 2,5$
Die beiden Werte für $a$ sind unterschiedlich.
Somit gehört die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} = 24$ nicht zur Schar.
Multipliziere die Ebene $E_{a}$ mit $2$ , damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind.
Führe dann einen Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durch.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

Teil A: Wahlpflichtteil

Aufgabe 3

Ermittele denjenigen Wert von a, für den Ea parallel zur Geraden g verläuft

Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung 6x1−8x2+x3=24 zur Schar gehört

Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Geraden $g$ verläuft

Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} = 24$ zur Schar gehört