Teil A: Pflichtteil

Begründe, dass $X$ und $Y$die gleiche Standardabweichung haben

Es gilt: $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ mit $n=20$.

Die Anzahl der blauen Sektoren ist $b\Rightarrow p_{\text{blau}}={\displaystyle \frac{b}{20}}$.

Dann ist:

$(1-p_{\text{blau}})=1-{\displaystyle \frac{b}{20}}=p_{\text{gelb}}\Rightarrow 1-p_{\text{gelb}}={\displaystyle \frac{b}{20}}=p_{\text{blau}}$

Eingesetzt in die $\sigma$-Gleichung folgt:

${\sigma }_{\text{blau}}=\sqrt{n\cdot p_{\text{blau}}\cdot (1-p_{\text{blau}})}=\sqrt{n\cdot (1-p_{\text{gelb}})\cdot p_{\text{gelb}}}=\sqrt{n\cdot p_{\text{gelb}}\cdot (1-p_{\text{gelb}})}={\sigma }_{\text{gelb}}$

Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads

Der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt, ist gleich der Erwartungswert. Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen, der höchste Balken ist bei der Zahl $75$.

$\Rightarrow E(X)=75$

Der Erwartungswert ist bei einer Binomialverteilung als Produkt aus $n$ und $p$ definiert.

$\Rightarrow E(X)=n\cdot p=100\cdot p$

Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:

Die Zufallsvariable $X$ hat also eine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ von $\mathrm{0,75}$. Da das Glücksrad insgesamt $20$ gleich große Felder hat, müssen $20\cdot \mathrm{0,75}=15$ davon blau sein.