Teil A: Pflichtteil

Aufgabe 2

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = a x^{3} + a x^{2}$ und $a \in ℝ, a > 0$ .

Geben Sie den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1 | 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gib den Wert von $a$ an, sodass der Punkt $(1 | 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ liegt
Setze den Punkt $(1 | 6)$ in $f_{a} (x)$ ein:
$6 = a \cdot 1^{3} + a \cdot 1^{2} = 2 \cdot a \Rightarrow a = 3$
Für $a = 3$ liegt der Punkt $(1 | 6)$ auf dem Graphen von $f_{a}$ .
Setze den Punkt $(1 | 6)$ in $f_{a} (x)$ ein.
Berechnen Sie in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_{a}$ mit der
$x$ -Achse einschließt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne die Nullstellen von $f_{a} (x)$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Berechne das Integral $\int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{a} (x) d x$ .