Prüfungsaufgaben Mathematik 2024

Aufgabe 3: Funktionen

Gegeben ist eine lineare Funktion mit der Gleichung $f (x) = 4 x +$ 1.

Ihr Graph ist die Gerade $f$ .

Gegeben ist eine quadratische Funktion mit der Gleichung $p (x) = x^{2} - 4$ .

Ihr Graph ist die Parabel $p$ .

Zeichnen Sie die Gerade $f$ in das Koordinatensystem ein. (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Da die Funktion $f (x) = 4 x + 1$ eine lineare Funktion ist, muss man nur die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse herausfinden, um den Graphen zeichnen zu können.
Die Steigung kann man am Funktionsterm ablesen, sie beträgt $4$ .
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln, setzt man für $x$ in die Funktion $0$ ein:
$f (0) = 4 \cdot 0 + 1 = 1$
Der Schnittpunkt $P$ der Funktion mit der y-Achse liegt also bei $(0 | 1)$ .
Jetzt kann man den Graphen zeichnen:
Skizzieren Sie die Parabel $p$ in das Koordinatensystem. (2 P)
Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes $S$ der Parabel $p$ an.
$S (|)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunktes
Um den Graphen der Funktion skizzieren zu können, braucht man die Koordinaten des Scheitelpunktes. Die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes ist bei quadratischen Funktionen $f (x) = a x^{2} + b x + c$ immer bei $- \frac{b}{2 a}$ .
$x_{S} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
Um die $y$ -Koordinate zu ermitteln, setzt man jetzt den errechneten $x$ -Wert in die Funktion ein:
$p (0) = 0^{2} - 4 = - 4$
Der Scheitelpunkt $S$ hat also die Koordinaten $S (0 | - 4)$ .
Erstellung einer Wertetabelle
Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, setzt man jetzt die x-Werte links und rechts vom Scheitelpunkt in die Funktion ein:
x
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
p(x)
$12$
$5$
$0$
$- 3$
$- 4$
$- 3$
$0$
$5$
$12$
Einzeichnen in das Koordinatensystem
Jetzt markiert man diese Punkte im Koordinatensystem und verbindet sie miteinander:
Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes
Erstelle eine Wertetabelle mit den Funktionswerten von den x-Werten links und rechts vom Scheitelpunkt
Markiere die berechneten Punkte und verbinde sie miteinander
Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt $T (- 5 | 20)$ auf der Parabel $p$ liegt. (2P)

Um herauszufinden, ob der Punkt $T$ auf der Parabel $p$ liegt, setzt man die $x$ -Koordinate von $T$ in die Funktion ein und prüft, ob der errechnete Funktionswert der y-Koordinate des Punktes entspricht:
$p (- 5) = (- 5)^{2} - 4 = 25 - 4 = 21$
$21 \neq 20$ , also liegt der Punkt $T$ nicht auf der Parabel $p$ .
$*$ Die Graphen von $f$ und $p$ schneiden sich in zwei Punkten.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden $f$ mit der Parabel $p$ .
(4P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Funktionen gleichsetzen
Um die Schnittpunkte der beiden Funktionen zu berechnen, setzt man die Funktionsterme gleich und stellt die Gleichung so um, das auf einer Seite $0$ steht:
$f (x)$ $=$ $p (x)$
$4 x + 1$ $=$ $x^{2} - 4$ $- 4 x - 1$
$0$ $=$ $x^{2} - 4 x - 5$
Nach x auflösen
Um $x$ zu bestimmen, verwendet man nun die Mitternachtsformel:
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{4 \pm \sqrt{16 - (- 20)}}{2}$
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{4 \pm 6}{2}$
$x_{1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_{2} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$
Berechnen der y-Koordinaten
Jetzt setze diese $x$ -Werte in eine der beiden Funktionen ein. Weil die Rechnung für $f$ einfacher ist, benutze diese Funktion.
$f (5) = 4 \cdot 5 + 1 = 21$
$f (- 1) = 4 \cdot (- 1) + 1 = - 3$
Die Koordinaten der Schnittpunkte sind also $S_{1} = (5 | 21)$ und $S_{2} = (- 1 | - 3)$ .
Setze die beiden Funktionen gleich
Löse nach $x$ auf
Berechne die y-Koordinaten der Schnittpunkte

x	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
p(x)	$12$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$	$12$

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$f (x)$	$=$	$p (x)$
$4 x + 1$	$=$	$x^{2} - 4$	$- 4 x - 1$
$0$	$=$	$x^{2} - 4 x - 5$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{16 - (- 20)}}{2}$
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{4 \pm 6}{2}$

Prüfungsaufgaben Mathematik 2024

Aufgabe 3: Funktionen

Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunktes

Erstellung einer Wertetabelle

Einzeichnen in das Koordinatensystem

Funktionen gleichsetzen

Nach x auflösen

Berechnen der y-Koordinaten