Länge von Kurven mittels Integration

Die Länge eines Funktionsgraphen kann mit Hilfe der Integralrechnung bestimmt werden. Manchmal nennt man das Bestimmen einer Kurvenlänge auch Rektifikation.

Länge des Graphen für 0<x<4

Die Länge $l$ des Graphen einer Funktion $f (x)$ im Intervall $[a; b]$ wird mit der Formel:

$l = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f^{'} (x))^{2}} d x$

berechnet.

BeispielBerechnen einer Kurvenlänge

Die Länge des Funktionsgraphen der Funktion $f (x) = \sqrt{x}$ im Intervall $[0; 4]$ soll berechnet werden.

Länge des Graphen für 0<x<4

Lösung:

Zunächst benötigt man die Ableitung der Funktion $f (x)$ :

$f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Dann kann man (mit Hilfe eines Taschenrechners) das folgende Integral lösen:

$l = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})^{2}} d x = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{4} x^{- 1}} d x \approx 4,8758$

Die Länge der Kurve beträgt also rund 4,9 Längeneinheiten.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org