Nachtermin Teil B

Aufgabe B 1

Rauten $A B_{n} C D_{n}$ besitzen die gemeinsame Diagonale $A C$ . Die Winkel $∢ C B_{n} A$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0^{\circ}; 180^{\circ} [$ .

Es gilt: $A C = 5 cm$ .

Die Zeichnung zeigt die Raute $A B_{1} C D_{1}$ mit den Diagonalen $A C$ und $B_{1} D_{1}$ für $φ = 110^{\circ}$ .

Zeichnen Sie die Raute $A B_{2} C D_{2}$ für $φ = 80^{\circ}$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Die beiden Symmetrieachsen der Raute sollen die Koordinatenachsen sein. Dann liegt die Mitte der Raute im Koordinatenursprung.
Berechnung der Länge der halben Diagonalen $D_{2} B_{2}$ ,
Für die Zeichnung werden z.B. die Koordinaten des Punktes $B_{2}$ benötigt.
Skizze des rechten oberen Dreiecks:
Dann gilt:
$\tan 40^{\circ} = \frac{2,5}{x_{B_{2}}} \Rightarrow x_{B_{2}} = \frac{2,5}{\tan 40^{\circ}} \approx 3 \Rightarrow B_{2} (3 | 0)$
Damit kann dann die Raute $A B_{2} C D_{2}$ für $φ = 80^{\circ}$ gezeichnet werden.
Eingezeichnete Raute $A B_{2} C D_{2}$
Für die Zeichnung braucht man die Länge der halben Diagonalen $D_{2} B_{2}$ , die im rechten oberen Dreieck mit dem Tangens berechnet werden kann.
Mit dieser Länge kann dann die Raute $A B_{2} C D_{2}$ gezeichnet werden.
Zeigen Sie, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
$u (φ) = \frac{10}{\sin (0,5 φ)} cm$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Zeige, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $u (φ) = \frac{10}{\sin (0,5 φ)} cm$
Der Umfang der Raute ist:
$u = 4 \cdot | A B_{n} |$
Berechnung von $| A B_{n} |$ mithilfe des Sinus
Im unteren rechtwinkligen Dreieck $O A B_{2}$ gilt:
$\sin (0,5 φ) = \frac{0,5 \cdot | A C |}{| A B_{n} |} = \frac{2,5 cm}{| A B_{n} |}$
$\Rightarrow | A B_{n} | (φ) = \frac{2,5}{\sin (0,5 φ)} cm$ für $φ \in] 0^{\circ}; 180^{\circ} [$
Damit erhält man für $u$ :
$u = 4 \cdot | A B_{n} | = 4 \cdot \frac{2,5}{\sin (0,5 φ)} = \frac{10}{\sin (0,5 φ)} cm$
Damit ist gezeigt, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $u (φ) = \frac{10}{\sin (0,5 φ)} cm$ .
Der Umfang der Raute ist $u = 4 \cdot | A B_{n} |$ .
Berechne im unteren rechtwinkligen Dreieck $| A B_{n} |$ mithilfe des Sinus.

Der Umfang der Raute $A B_{3} C D_{3}$ ist um $15 %$ kleiner als der Umfang der Raute $A B_{1} C D_{1}$ .

Berechnen Sie das zugehörige Maß $φ$ des Winkels $C B_{3} A$ .

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (3 P)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$0,85 \cdot 12,21$	$=$	$\frac{10}{\sin (0,5 φ)}$	$\cdot \sin (0,5 φ)$
	↓	Löse nach $φ$ auf.
$0,85 \cdot 12,21 \cdot \sin (0,5 φ)$	$=$	$10$	$: (0,85 \cdot 12,21)$
$\sin (0,5 φ)$	$=$	$\frac{10}{0,85 \cdot 12,21}$	$\sin^{- 1} ()$
$0,5 φ$	$=$	$\sin^{- 1} (\frac{10}{0,85 \cdot 12,21})$
$0,5 φ$	$\approx$	${74,48}^{\circ}$	$\cdot 2$
$φ$	$\approx$	${148,96}^{\circ}$

Nachtermin Teil B

Aufgabe B 1

Berechnung der Länge der halben Diagonalen $D_{2} B_{2}$ ,

Zeige, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $u (φ) = \frac{10}{\sin (0,5 φ)} cm$

Berechnung von $| A B_{n} |$ mithilfe des Sinus

Berechne den Umfang der Raute $A B_{1} C D_{1}$ für $φ = 110^{\circ}$ .

Berechne das zugehörige Maß $φ$ des Winkels $C B_{3} A$

Nachtermin Teil B

Aufgabe B 1

Berechnung der Länge der halben Diagonalen D2B2,

Zeige, dass für den Umfang u der Rauten ABnCDn in Abhängigkeit von φ gilt: u(φ)=10sin⁡(0,5φ)cm

Berechnung von |ABn| mithilfe des Sinus

Berechne den Umfang der Raute AB1CD1 für φ=110∘.

Berechne das zugehörige Maß φ des Winkels CB3A

Berechnung der Länge der halben Diagonalen $D_{2} B_{2}$ ,

Zeige, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $u (φ) = \frac{10}{\sin (0,5 φ)} cm$

Berechnung von $| A B_{n} |$ mithilfe des Sinus

Berechne den Umfang der Raute $A B_{1} C D_{1}$ für $φ = 110^{\circ}$ .

Berechne das zugehörige Maß $φ$ des Winkels $C B_{3} A$