Prüfungsteil 2 2021

Aufgabe 3: Kasimir Bastelt

Kasimir zeichnet ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 10 cm und einer Höhe

h ≈ 8,7 cm (Abbildung 1).

Bestätige durch eine Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 43,5 $c m^{2}$ beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
g: Grundlinie
h: Höhe
$A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8,7 = 43,5$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $43,5 {cm}^{2}$ .
Berechne die Dreiecksfläche mit Hilfe der Flächenformel.
Kasimir markiert auf jeder Dreieckseite den Mittelpunkt.
Die Mittelpunkte verbindet er. Es entstehen vier gleiche kleine Dreiecke
(Abbildung 2).
Zeichne die Figur (Abbildung 2) mit den Originalmaßen auf ein DIN-A4-Blatt.
Bestätige durch eine Rechnung, dass der Flächeninhalt eines kleinen Dreiecks
ca. $10,9 c m^{2}$ beträgt.

$43,5 : 4 = 10,875$
Der Flächerninhalt eines kleinen Dreiecks beträgt ungefähr $10,9 c m^{2}$ .
Teile den Flächeninhalt des große Dreiecks durch 4, da das große Dreieck aus 4 gleichen , kleinen Dreiecken besteht.
Kasimir klappt die drei äußeren hellen Dreiecke nach oben.
Es entsteht eine besondere Pyramide, die Tetraeder genannt wird (Abbildung 3).
Die Kantenlänge des Tetraeders
beträgt 5 cm. Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt ca. $10,9 c m^{2}$ .
Die Körperhöhe $h_{K}$ eines Tetraeders kann mit folgender Formel berechnet werden:
$h_{K} = \frac{\sqrt{6}}{3} · b$
Zeige mit der Formel, dass $h_{K} \approx 4,1$ cm lang ist.

$h_{k} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot 5 = 4,08...$
Die Körperhöhe des Tetraeders betragt ungefähr $4,1 cm$ .
Berechne mit der Körperhöhe $h_{K}$ das Volumen des Tetraeders.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
$V_{P y r a m i d e} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
G: Grundfläche
h: Höhe
Grundfläche: $10,9 {cm}^{2}$
Höhe: $4,1 cm$
$V = \frac{1}{3} \cdot 10,9 \cdot 4,1 = 14,896...$
Das Volumen des Tetraeders beträgt ca. $14,9 {cm}^{3}$ .
Das gegebene Tetraeder ist eine Pyramide.
Verwende die Volumenformel für die Pyramide
Abbildung 2 stellt das Netz eines Tetraeders dar.
Welches Netz stellt ebenfalls das Netz eines Tetraeders dar? Kreuze an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
Netz 1 stellt kein Tetraeder dar, da in reguläres Tetraeder eine Pyramide ist, die vier kongruente gleichseitige Dreiecke als Fläche hat.
Netz 2 kann nicht zu einer Pyramide zusammengeklappt werden.
Netz 3 ist richtig.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org