Teil 1, Stochastik

Erläutere, was der Ausdruck „faires Spiel“ im Zusammenhang mit Glücksspielen bedeutet

Unter einem fairen Spiel versteht man ein Spiel, bei dem alle Spieler gleiche Chancen haben zu gewinnen.

Gibt es einen Veranstalter für das Spiel, so muss einem fairen Spiel gelten, dass auf lange Sicht weder der Spieler noch der Veranstalter einen Vorteil erzielt.

Nenne eine Bedingung, die von der hier dargestellten Zufallsgröße $X$ erfüllt werden muss, damit das beschriebene Glücksspiel fair ist

Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ (Nettogewinn bei diesem Spiel in Euro) muss gleich null sein$\Rightarrow E(X)=0$.

Berechne die Werte der Parameter $a$ und $b$ so, dass es sich bei diesem Glücksradspiel um ein faires Spiel handelt

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss gleich $1$ sein.

$\mathrm{0,2}+a+\mathrm{0,2}+b+\mathrm{0,1}=1\Rightarrow \mathrm{0,5}+a+b=1\Rightarrow a=\mathrm{0,5}-b$

Weiterhin ist $E(X)=-2\cdot \mathrm{0,2}+(-1)\cdot a+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{1,5}\cdot b+3\cdot \mathrm{0,1}$

$E(X)=-\mathrm{0,4}-a+\mathrm{0,1}+\mathrm{1,5}b+\mathrm{0,3}=-a+\mathrm{1,5}b$

Setze $a=\mathrm{0,5}-b$ ein:

$E(X)=-(\mathrm{0,5}-b)+\mathrm{1,5}b=-\mathrm{0,5}+b+\mathrm{1,5}b=-\mathrm{0,5}+\mathrm{2,5}b$

Faires Spiel: $E(X)=0\Rightarrow 0=-\mathrm{0,5}+\mathrm{2,5}b\Rightarrow b={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{2,5}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$

$\Rightarrow a=\mathrm{0,5}-b=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,3}$

Man erhält ein faires Spiel für $a=\mathrm{0,3}$ und $b=\mathrm{0,2}$.