Wahlteil - CAS

Begründe, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}\parallel \overrightarrow{BC}$

Das Rechteck ist ein Trapez.

Berechne das Volumen der Pyramide

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_P$

Die Grundfläche $G$ ist ein Trapez: $G_{\text{Trapez}}=\frac{(a+c)}{2}\cdot h_T={\displaystyle \frac{2+4}{2}}\cdot 2=6$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_P={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 6\cdot \mathrm{3,5}=7$

($z=\mathrm{3,5}$ ist die z-Koordinate von $S$ und ist die Höhe der Pyramide.)

Das Volumen der Pyramide beträgt $7\text{VE}$.

Zeige, dass das Dreieck $CDS$ im Punkt $C$ rechtwinklig ist

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$:

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

$\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{CS}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)=(-2)\cdot (-2)+2\cdot (-2)+0\cdot \mathrm{3,5}=4-4+0=0$

Demnach befindet sich bei $C$ ein rechter Winkel.

Ergänze Abbildung 2 so, dass ein vollständiges Netz der Pyramide $ABCDS$ dargestellt ist

Untersuche, ob der Punkt $P(4|-8|7)$ in der Ebene liegt, in der die Seitenfläche $CDS$ liegt

Erstelle die Ebenengleichung durch die Punkte $C,D$ und $S$.

$E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OC}+r\cdot (\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC})+s\cdot (\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC})$

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot (\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right))+s\cdot (\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right))$

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Führe eine Punktprobe durch:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)\Rightarrow$

$\left(\begin{array}{c}2\\ -10\\ 7\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})7=\mathrm{3,5}\cdot s\Rightarrow s=2$

$s=2$ eingesetzt in Gleichung $(\mathrm{I})\Rightarrow 2=-2\cdot r-4$

$\Rightarrow 6=-2\cdot r\Rightarrow r=-3$

Kontrolle in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$:

$-10=(-3)\cdot 2+2\cdot (-2)\Rightarrow -10=-10✓$

Der Punkt $P(4|-8|7)$ liegt in der Ebene, in der die Seitenfläche $CDS$ liegt.

Berechne die Kantenlänge dieses Würfels

Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $\overline{CS}$ der Pyramide liegt.

Berechne die Geradengleichung $g_{CS}$:

$g_{CS}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OC}+r\cdot (\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC})=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Vom Punkt $A$ aus zeigt ein Vektor mit drei gleichen Komponenten zu einem Punkt auf der Geraden $g_{CS}$:

$\left(\begin{array}{c}a\\ a\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt: $r={\displaystyle \frac{a}{\mathrm{3,5}}}$

$r={\displaystyle \frac{a}{\mathrm{3,5}}}$ eingesetzt in Gleichung $(\mathrm{I})$: $a=2-{\displaystyle \frac{2a}{\mathrm{3,5}}}$

Die Kantenlänge $a$ des Würfels ist somit ${\displaystyle \frac{14}{11}}$.

Begründe, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt

In Verbindung mit der Abbildung genügt es zu prüfen, ob der Eckpunkt $\left(\frac{14}{11}|0|\frac{14}{11}\right)$ des Würfels außerhalb der Pyramide liegt.

Berechne die Geradengleichung $g_{BS}$:

$g_{BS}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+r\cdot (\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OB})=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Prüfe, ob der obige Eckpunkt auf $g_{BS}$ liegt:

$\left(\begin{array}{c}\frac{14}{11}\\ 0\\ \frac{14}{11}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt: $r={\displaystyle \frac{14}{11\cdot \mathrm{3,5}}}={\displaystyle \frac{4}{11}}$

$r={\displaystyle \frac{4}{11}}$ eingesetzt in Gleichung $(\mathrm{I})$:

${\displaystyle \frac{14}{11}}=2-{\displaystyle \frac{8}{11}}={\displaystyle \frac{14}{11}}✓$

Da die Gleichung mit $r={\displaystyle \frac{4}{11}}$ eine Lösung besitzt, liegt der Eckpunkt auf der Kante $\overline{BS}$ und nicht außerhalb der Pyramide.