Wahlteil - GTR

Aufgabe 3A

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit $A (0 | 0 | 0), B (2 | 0 | 0), C (2 | 2 | 0), D (0 | 4 | 0)$ und $S (0 | 0 | 3,5) .$

Begründen Sie, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Begründe, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist
Berechne die Vektoren $\vec{B C}$ und $\vec{A D}$ :
$\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
$\vec{A D} = \vec{O D} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
$\Rightarrow \vec{A D} ∥ \vec{B C}$
Das Rechteck ist ein Trapez.
Berechne das Volumen der Pyramide
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_{P}$
Die Grundfläche $G$ ist ein Trapez: $G_{Trapez} = \frac{(a + c)}{2} \cdot h_{T} = \frac{2 + 4}{2} \cdot 2 = 6$
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_{P} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 3,5 = 7$
( $z = 3,5$ ist die z-Koordinate von $S$ und ist die Höhe der Pyramide.)
Das Volumen der Pyramide beträgt $7 VE$ .
Teil 1
Vergleiche die Vektoren $\vec{B C}$ und $\vec{A D}$ .
Teil 2
Berechne $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_{P}$
Zeigen Sie, dass das Dreieck $C D S$ im Punkt $C$ rechtwinklig ist. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Zeige, dass das Dreieck $C D S$ im Punkt $C$ rechtwinklig ist
Berechne die Vektoren $\vec{C D}$ und $\vec{C S}$ :
$\vec{C D} = \vec{O D} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
$\vec{C S} = \vec{O S} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 3,5 \end{array})$
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\vec{C D} \circ \vec{C S} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 3,5 \end{array}) = (- 2) \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 2) + 0 \cdot 3,5 = 4 - 4 + 0 = 0$
Demnach befindet sich bei $C$ ein rechter Winkel.
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{C D}$ und $\vec{C S}$ .
In Abbildung 2 ist ein Teil eines Netzes der Pyramide $A B C D S$ dargestellt.
Ergänzen Sie Abbildung 2 so, dass ein
vollständiges Netz der Pyramide
$A B C D S$ dargestellt ist. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Körpernetze
Zeichne das Pyramidennetz. Orientiere Dich an der vorgegebenen Seitenfläche $C D S$ und berücksichtige die Pyramidenhöhe von $3,5$ .
Untersuchen Sie, ob der Punkt $P (4 | - 8 | 7)$ in der Ebene liegt, in der die Seitenfläche $C D S$ liegt. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Untersuche, ob der Punkt $P (4 | - 8 | 7)$ in der Ebene liegt, in der die Seitenfläche $C D S$ liegt
Erstelle die Ebenengleichung durch die Punkte $C, D$ und $S$ .
$E : \vec{x} = \vec{O C} + r \cdot (\vec{O D} - \vec{O C}) + s \cdot (\vec{O S} - \vec{O C})$
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})) + s \cdot ((\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}))$
$E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 3,5 \end{array})$
Führe eine Punktprobe durch:
$(\begin{array}{c} 4 \\ - 8 \\ 7 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 3,5 \end{array}) \Rightarrow$
$(\begin{array}{c} 2 \\ - 10 \\ 7 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 3,5 \end{array})$
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
$(I I I) 7 = 3,5 \cdot s \Rightarrow s = 2$
$s = 2$ eingesetzt in Gleichung $(I) \Rightarrow 2 = - 2 \cdot r - 4$
$\Rightarrow 6 = - 2 \cdot r \Rightarrow r = - 3$
Kontrolle in Gleichung $(I I)$ :
$- 10 = (- 3) \cdot 2 + 2 \cdot (- 2) \Rightarrow - 10 = - 10 ✓$
Der Punkt $P (4 | - 8 | 7)$ liegt in der Ebene, in der die Seitenfläche $C D S$ liegt.
Erstelle die Ebenengleichung durch die Punkte $C, D$ und $S$ .
Führe eine Punktprobe durch.
Betrachtet werden die Würfel, von denen drei Seitenflächen in den drei Koordinatenebenen liegen.
Abbildung 3 zeigt einen dieser Würfel.
Unter diesen Würfeln gibt es einen,
bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $C S$ der Pyramide liegt.
Berechnen Sie die Kantenlänge dieses Würfels und begründen Sie, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Berechne die Kantenlänge dieses Würfels
Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $C S$ der Pyramide liegt.
Berechne die Geradengleichung $g_{C S}$ :
$g_{C S} : \vec{x} = \vec{O C} + r \cdot (\vec{O S} - \vec{O C}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 3,5 \end{array})$
Vom Punkt $A$ aus zeigt ein Vektor mit drei gleichen Komponenten zu einem Punkt auf der Geraden $g_{C S}$ :
$(\begin{array}{c} a \\ a \\ a \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 3,5 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I I)$ folgt: $r = \frac{a}{3,5}$
$r = \frac{a}{3,5}$ eingesetzt in Gleichung $(I)$ : $a = 2 - \frac{2 a}{3,5}$
Die Kantenlänge $a$ des Würfels ist somit $\frac{14}{11}$ .
Begründe, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt
In Verbindung mit der Abbildung genügt es zu prüfen, ob der Eckpunkt $(\frac{14}{11} | 0 | \frac{14}{11})$ des Würfels außerhalb der Pyramide liegt.
Berechne die Geradengleichung $g_{B S}$ :
$g_{B S} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot (\vec{O S} - \vec{O B}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3,5 \end{array})$
Prüfe, ob der obige Eckpunkt auf $g_{B S}$ liegt:
$(\begin{array}{c} \frac{14}{11} \\ 0 \\ \frac{14}{11} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 3,5 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I I)$ folgt: $r = \frac{14}{11 \cdot 3,5} = \frac{4}{11}$
$r = \frac{4}{11}$ eingesetzt in Gleichung $(I)$ :
$\frac{14}{11} = 2 - \frac{8}{11} = \frac{14}{11} ✓$
Da die Gleichung mit $r = \frac{4}{11}$ eine Lösung besitzt, liegt der Eckpunkt auf der Kante $B S$ und nicht außerhalb der Pyramide.
Teil 1
Berechne die Geradengleichung $g_{C S}$ .
Vom Punkt $A$ aus zeigt ein Vektor mit drei gleichen Komponenten zu einem Punkt auf der Geraden $g_{C S}$ .
Löse diese Gleichung.
Teil 2
In Verbindung mit der Abbildung genügt es zu prüfen, ob der Eckpunkt $(x | 0 | x)$ des Würfels außerhalb der Pyramide liegt.
Berechne die Geradengleichung $g_{B S}$ .
Prüfe, ob der Eckpunkt auf $g_{B S}$ liegt.