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Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = x^{3} - 4 x$ .

Begründen Sie, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. [1 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs
Der Funktionsterm enthält nur ungerade Exponenten, d.h. der Graph von $𝑓$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Alternativ:
$f (- x) = (- x)^{3} - 4 (- x) = - x^{3} + 4 x = - (x^{3} - 4 x) = - f (x)$
Aus $f (- x) = - f (x)$ folgt, dass der Graph von $𝑓$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
Betrachte die Potenzen von $x$ .
Der Graph von $f$ und die x-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Inhalt dieser Fläche
Für die Flächenberechnung werden die Nullstellen der Funktion benötigt.
$0 = x (x^{2} - 4) \Rightarrow x_{1} = 0$ und $x_{2,3} = \pm 2$
Im Intervall $[- 2; 0]$ ist $f (x) \geq 0$ und wegen der Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs gilt dann:
$A = 2 \cdot \int_{- 2}^{0} f (x) d x = 2 \cdot {[\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}]}_{- 2}^{0} = 2 \cdot (0 - (4 - 8)) = 8$
Der Inhalt dieser Fläche beträgt $8 FE$ .
Berechne die Nullstellen der Funktion und beachte die Punktsymmetrie des Graphen von $f$ bezüglich des Koordinatenursprungs.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org