Wahlteil - GTR

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit

$f_{a} (x) = \frac{1}{a^{3}} x^{3} - \frac{1}{a} x^{2} + x$ und $a \in ℝ^{+}$ .

Skizzieren Sie den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1.
Geben Sie die Extrempunkte von $f_{4}$ an. [5BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1
$f_{4} (x) = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x$
Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an
Lasse Dir den Graphen von $f_{4} (x)$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt.
$\Rightarrow T P (8 | 0)$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(8 | 0)$ .
Für den Hochpunkt folgt: $x \approx 2,66666...$ und $y \approx 1,1851...$
$\Rightarrow H P (2,7 | 1,2)$
Der Hochpunkt hat etwa die Koordinaten $(2,7 | 1,2)$ .
Teil 1
Skizziere den Graphen von $f_{4} (x)$ .
Teil 2
Lasse Dir den Graphen von $f_{4} (x)$ anzeigen und bestimme den Tiefpunkt und den Hochpunkt.
Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ .
Die Graphen von $f_{1}$ und $f_{3}$ haben die beiden gemeinsamen Punkte $S_{1} (0 | 0)$ und $S_{2} (s_{x} | s_{y})$ mit $s_{x} \approx 0,69$ und $s_{y} \approx 0,54$ . Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$
$f_{1} (x) = x^{3} - x^{2} + x$
Lasse Dir die Graphen von $f_{1} (x)$ und $f_{4} (x)$ anzeigen und bestimme ihre Schnittpunkte:
Man erhält die beiden Lösungen $x_{1} = 0$ und $f_{1} (0) = f_{4} (0) = 0$ , sowie
$x_{2} \approx 0,761904...$ . und $f_{1} (0,761904...) = f_{4} (0,761904...) \approx 0,623690...$
$\Rightarrow P_{1} (0 | 0)$ und $P_{2} (0,76 | 0,62)$
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ sind $(0 | 0)$ und etwa $(0,76 | 0,62)$ .
Die Graphen von $f_{1}$ und $f_{3}$ haben die beiden gemeinsamen Punkte $S_{1} (0 | 0)$ und $S_{2} (s_{x} | s_{y})$ mit $s_{x} \approx 0,69$ und $s_{y} \approx 0,54$ . Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt
Es gilt unabhängig von $a$ :
$f_{a} (0) = 0$
Wegen $s_{x} \neq x_{2}$ gibt es nur den Punkt $(0 | 0)$ der auf allen Graphen der Funktionenschar liegt.
Teil 1
Lasse Dir die Graphen von $f_{1} (x)$ und $f_{4} (x)$ anzeigen und bestimme ihre Schnittpunkte.
Teil 2
Welcher Funktionswert ist unabhängig von $a$ ?
Vergleiche $s_{x}$ mit $x_{2}$ .
Die Gleichung $f_{a} (x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $\frac{a^{2} - \sqrt{a^{3} \cdot (a - 4)}}{2}$ und $0$ und $\frac{a^{2} + \sqrt{a^{3} \cdot (a - 4)}}{2}$ .
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diskriminante
Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme
Es gilt: $a \in ℝ^{+}$
Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D = a^{3} \cdot (a - 4)$ in den beiden Termen $\frac{a^{2} \pm \sqrt{a^{3} \cdot (a - 4)}}{2}$ .
Für $a > 4$ ist $D > 0 \Rightarrow G_{f_{a}}$ hat $3$ Nullstellen.
Für $a = 4$ ist $D = 0 \Rightarrow G_{f_{a}}$ hat $2$ Nullstellen.
Für $a < 4$ ist $D < 0 \Rightarrow G_{f_{a}}$ hat $1$ Nullstelle.
Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D = a^{3} \cdot (a - 4)$
Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac{a^{2}}{3} | y_{a})$ .
Bestimmen Sie den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate. [5 BE]
Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac{a^{2}}{3} | y_{a})$ .
$\Rightarrow x_{W P} = \frac{a^{2}}{3}$
Berechne $f_{a} (\frac{a^{2}}{3})$ :
$f_{a} (x)$ $=$ $\frac{1}{a^{3}} x^{3} - \frac{1}{a} x^{2} + x$
↓
Setze $x = \frac{a^{2}}{3}$ ein.
$=$ $\frac{1}{a^{3}} {(\frac{a^{2}}{3})}^{3} - \frac{1}{a} {(\frac{a^{2}}{3})}^{2} + \frac{a^{2}}{3}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{1}{a^{3}} \cdot \frac{a^{6}}{27} - \frac{1}{a} \cdot \frac{a^{4}}{9} + \frac{a^{2}}{3}$
↓
Kürze.
$=$ $\frac{a^{3}}{27} - \frac{a^{3}}{9} + \frac{a^{2}}{3}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $- \frac{2}{27} a^{3} + \frac{1}{3} \cdot a^{2}$
Es ist $f_{a} (\frac{a^{2}}{3}) = f (a) = - \frac{2}{27} \cdot a^{3} + \frac{1}{3} \cdot a^{2}$ .
Lasse Dir den Graphen von $f (a)$ anzeigen und bestimme das Maximum.
Der Term $f_{a} (\frac{a^{2}}{3})$ ist für $a = 3$ maximal.
Berechne $f_{a} (\frac{a^{2}}{3})$ und finde das Maximum von $f_{a} (\frac{a^{2}}{3}) = f (a)$ .
Für ein Umweltschutzprojekt nehmen zwei Unterwasserdrohnen $U 1$ und $U 2$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vor. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d.h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten werden für $0 \leq t \leq 30$ durch die in $ℝ$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschrieben, wobei gilt:
$v (t) = - \frac{6}{25} t \cdot (4 t - 25) \cdot e^{- \frac{1}{5} \cdot t}$ und $w (t) = \frac{1}{216} t^{3} - \frac{1}{6} t^{2} + t$
Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten. $v (t)$ ist die
Geschwindigkeit von $U 1$ in Meter pro Minute und $w (t)$ ist die Geschwindigkeit von $U 2$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und
interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$
Betrachte den Graphen von $v (t)$ und lasse Dir das Minimum anzeigen.
Der Tiefpunkt ist $T P (14 | - 6,3)$ .
Die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ sind etwa $(14 | - 6,3)$ .
Interpretiere die Werte im Sachkontext
Etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt die größte Sinkgeschwindigkeit von $U 1$ etwa $6,3 \frac{m}{min}$ .
Betrachte den Graphen von $v (t)$ und lasse Dir das Minimum anzeigen.
Zu der angegebenen Zeit nach Beobachtungsbeginn hat $U 1$ die größte Sinkgeschwindigkeit.
Mit $v^{'}$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten
Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$
Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die momentane Änderungsrate - Ganz mathematisch!
Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum
Wegen $v (t) < 0$ sinkt $U 1$ . Wegen $v^{'} (t) > 0$ ist die momentane Änderungsrate
der Geschwindigkeit von $U 1$ positiv. Also sinkt $U 1$ in diesem Zeitraum immer
langsamer.
Was bedeutet $v (t) < 0$ und was bedeutet $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ ?
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche
des Sees $10$ Meter.
Ermitteln Sie den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Integral
Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn
$v (t) = - \frac{6}{25} t \cdot (4 t - 25) \cdot e^{- \frac{1}{5} \cdot t}$
Betrachte den Term $4 t - 25$ .
Für $t > \frac{25}{4} = 6,25$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) < 0$ .
Für $t < 6,25$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) > 0$ .
Somit gilt: $v (t) > 0$ für $0 < t < 6,25$ und $v (t) < 0$ für $6,25 < t < 30$ .
$U 1$ hat somit $6,25$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand
zur Wasseroberfläche.
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:
Der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $31,7 m$ .
Untersuche, in welchem Zeitraum $v (t)$ größer bzw. kleiner $0$ ist. Zur Zeit $t_{x}$ , bei der sich das Vorzeichen von $v (t)$ ändert, hat $U 1$ den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
Der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees beträgt $10$ Meter.
Zu Beobachtungsbeginn: $10 + \int_{0}^{t_{x}} v (t) d t$
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ und steigt langsamer als $U_{1}$ .
Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander.
Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H (t_{H} | y_{H})$ .
Erläutern Sie, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln
kann, und geben Sie einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann
Bei der t-Koordinate $t_{s}$ des einzigen Schnittpunkts der Graphen von $v$ und $w$ innerhalb der ersten Minuten wechselt $w (t) < v (t)$ zu $v (t) < w (t)$ . Somit
nimmt der vertikale Abstand von $U 1$ und $U 2$ bis zum Zeitpunkt $t_{s}$ zu und danach
wieder ab. Folglich ist $t_{H} = t_{s}$ .
Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .
$\Rightarrow y_{H} = 5 + \int_{0}^{t_{s}} (v (t) - w (t)) d t$
Innerhalb der ersten Minuten gibt es einen Schnittpunkt der Graphen von $v$ und $w$ .
Was passiert zu diesem Zeitpunkt?
Beachte: $U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$f_{a} (x)$	$=$	$\frac{1}{a^{3}} x^{3} - \frac{1}{a} x^{2} + x$
	↓	Setze $x = \frac{a^{2}}{3}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{a^{3}} {(\frac{a^{2}}{3})}^{3} - \frac{1}{a} {(\frac{a^{2}}{3})}^{2} + \frac{a^{2}}{3}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{1}{a^{3}} \cdot \frac{a^{6}}{27} - \frac{1}{a} \cdot \frac{a^{4}}{9} + \frac{a^{2}}{3}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\frac{a^{3}}{27} - \frac{a^{3}}{9} + \frac{a^{2}}{3}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- \frac{2}{27} a^{3} + \frac{1}{3} \cdot a^{2}$

Wahlteil - GTR

Aufgabe 1A

Skizziere den Graphen von f4 in Abbildung 1

Gib die Extrempunkte von f4 an

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von f1 und f4

Die Graphen von f1 und f3 haben die beiden gemeinsamen Punkte S1(0|0) und S2(sx|sy) mit sx≈0,69 und sy≈0,54. Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt

Gib die Anzahl der Nullstellen von fa in Abhängigkeit von 𝑎 an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von v

Interpretiere die Werte im Sachkontext

Interpretiere die Aussage: v(t)<0 und v′(t)>0 in Bezug auf die Bewegung von U1 in diesem Zeitraum

Ermittle den Abstand von U1 zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

Erläutere, wie man tH anhand der Graphen von v und w ermitteln kann

Gib einen Term zur Berechnung von yH an

Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1

Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$

Die Graphen von $f_{1}$ und $f_{3}$ haben die beiden gemeinsamen Punkte $S_{1} (0 | 0)$ und $S_{2} (s_{x} | s_{y})$ mit $s_{x} \approx 0,69$ und $s_{y} \approx 0,54$ . Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$

Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum

Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann

Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an