Pflichtteil

Aufgabe Q6

Die Abbildung zeigt die Punkte $A, B$ und $P$ . Die Ebene, in der die drei Punkte liegen, wird durch die Zeichenebene dargestellt.

Betrachtet werden Geraden $𝑔, 𝑔^{*}$ und $h$ , für die gilt:

$g$ verläuft durch $A$ , $g^{*}$ durch $B$ und $h$ durch $P$ .
$g$ und $g^{*}$ schneiden sich in $P$ .
Wird $g$ an $h$ gespiegelt, so entsteht $g^{*}$ .

Zeichnen Sie die Gerade $g$ , die Gerade $g^{*}$ und eine Gerade $ℎ$ in die Abbildung ein.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten $𝐴$ , $𝐵$ und $𝑃$ der Ortsvektor eines weiteren Punktes von $ℎ$ bestimmt werden kann. [5 BE]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

Zeichne die Gerade $𝑔$ , die Gerade $𝑔^{*}$ und eine Gerade $ℎ$ in die Abbildung ein

Gib einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten $𝐴$ , $𝐵$ und $𝑃$ der Ortsvektor eines weiteren Punktes von $ℎ$ bestimmt werden kann

Die gesuchte Gerade $h$ ist Winkelhalbierende im Schnittpunkt $P$ der Geraden $g$ und $g^{*}$ . Für diese Winkelhalbierende gibt es zwei Möglichkeiten, die beispielhaft in den beiden Lösungsvarianten eingezeichnet sind.

Es werden zwei Möglichkeiten zur Konstruktion eines Punktes $D$ auf $h$ angegeben.

Lösungsmöglichkeit 1

Skizze zur Veranschaulichung:

Finde einen Punkt $C$ auf der Geraden $g$ , der an $h$ gespiegelt den Punkt $B$ ergibt.

Dabei gilt: $| \vec{B P} | = | \vec{P C} |$ und $\vec{P C} = \frac{| \vec{B P} |}{| \vec{A P} |} \cdot \vec{A P}$

Addiert man zum Vektor $\vec{O B}$ den Vektor $\vec{P C}$ kommt man zu einem Punkt $D$ auf der Geraden $h$ :

Das Viereck $B P C D$ ist eine Raute, da alle Seiten gleich lang sind (die Seite $C D$ entsteht ja durch Verschiebung von $B P$ ) und die Gerade $h$ durch $P$ und $C$ ist als Diagonale eine Symmetrieachse.

Der gesuchte Term ist also:

\vec{O B} + \frac{| \vec{B P} |}{| \vec{A P} |} \cdot \vec{A P}

Lösungsmöglichkeit 2

Konstruiere einen Punkt $C$ auf der Strecke von $A$ nach $P$ , der denselben Abstand zu $P$ wie $B$ hat.

Der Mittelpunkt von $B$ und $C$ liegt dann auf der Geraden $h$ .

Finde einen Punkt $C$ auf der Geraden $g$ , der an $h$ gespiegelt den Punkt $B$ ergibt.

Dabei gilt: $| \vec{B P} | = | \vec{P C} |$ und $\vec{P C} = \frac{| \vec{B P} |}{| \vec{P A} |} \cdot \vec{P A}$

Addiert man zum Vektor $\vec{O C}$ die Hälfte des Vektors $\vec{C B}$ kommt man zu einem Punkt $D$ auf der Geraden $h$ .

Der gesuchte Term ist also:

$\vec{O C} + \frac{1}{2} \cdot \vec{C B} = \vec{P C} + \vec{O P} + \frac{1}{2} \cdot \vec{C B} = \frac{| \vec{B P} |}{| \vec{P A} |} \cdot \vec{P A} + \vec{O P} + \frac{1}{2} \cdot \vec{C B}$

Der Vektor $\vec{C B}$ muss noch umgeformt werden:

$\frac{1}{2} \cdot \vec{C B} = \frac{1}{2} (\vec{O B} - \vec{O C}) = \frac{1}{2} (\vec{O B} - (\vec{P C} + \vec{O P})) = \frac{1}{2} (\vec{O B} - \vec{O P} - \vec{P C})$

$\frac{1}{2} (\vec{O B} - \vec{O P} - \vec{P C}) = \frac{1}{2} (\vec{P B} - \vec{P C}) = \frac{1}{2} (\vec{P B} - \frac{| \vec{B P} |}{| \vec{P A} |} \cdot \vec{P A})$

Damit erhält man:

$\frac{| \vec{B P} |}{| \vec{P A} |} \cdot \vec{P A} + \vec{O P} + \frac{1}{2} \cdot (\vec{P B} - \frac{| \vec{B P} |}{| \vec{P A} |} \cdot \vec{P A})$

Zusammengefasst:

\vec{O P} + \frac{1}{2} \cdot \vec{P B} + \frac{1}{2} \cdot \frac{| \vec{B P} |}{| \vec{P A} |} \cdot \vec{P A}

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org