Pflichtteil

Begründe, dass gilt: $\mu =20$

Aus der Abbildung kann abgelesen werden:

$P(\le 20)=\mathrm{0,5}$

Andererseits gilt: $P(X\le x)\approx \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)$

Also ist hier: $\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{20-\mu }{\sigma }}\right)=\mathrm{0,5}$

Es gilt weiterhin:

$\mathrm{\Phi }(0)=\mathrm{0,5}\Rightarrow {\displaystyle \frac{20-\mu }{\sigma }}=0\Rightarrow \mu =20$

Bestimme einen Näherungswert für $P(\mu -\mathrm{1,5}\sigma \le X\le \mu +\mathrm{1,5}\sigma )$

Benötigt wird der Wert von $\sigma$.

Gegeben ist der Punkt $S(16|\mathrm{0,16})$ und aus Aufgabe a) $\mu =20$.

Demnach gilt: $P(X\le 16)=\mathrm{0,16}$.

Also ist $\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{16-20}{\sigma }}\right)=\mathrm{0,16}$.

Das Argument von $\mathrm{\Phi }$ ist negativ:

$\mathrm{\Phi }(-z)=1-\mathrm{\Phi }(z)=\mathrm{0,16}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z)=\mathrm{0,84}\Rightarrow z=1$

Mit $z={\displaystyle \frac{4}{\sigma }}$ und $z=1\Rightarrow \sigma =4$

Setze nun $\mu =20$ und $\sigma =4$ in $P(\mu -\mathrm{1,5}\sigma \le X\le \mu +\mathrm{1,5}\sigma )$ ein:

$P(20-\mathrm{1,5}\cdot 4\le X\le 20+\mathrm{1,5}\cdot 4)=P(14\le X\le 26)$

Aus der Abbildung liest man ab:

$P(14\le X\le 26)=P(X\le 26)-P(X\le 14)\approx \mathrm{0,93}-\mathrm{0,07}=\mathrm{0,86}$