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Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{0,5 x^{2} - 3 x + 0,5}{x^{2} + 1}$ mit der maximalen Definitionsmeng $D_{f} = ℝ$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie die Funktion $f$ auf Nullstellen.
Geben Sie Art und Gleichung der Asymptote von $G_{f}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten möglicher gemeinsamer Punkte des Graphen $G_{f}$ mit seiner Asymptote.
Ermitteln Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte von $G_{f}$ .
[ Mögliches Teilergebnis: $f^{'} (x) = \frac{3 x^{2} - 3}{(x^{2} + 1)^{2}}$ ]
Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}$ und seine Asymptote im Bereich $- 4 \leq x \leq 7$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
Zeigen Sie, dass die Funktion $F : x \mapsto 0,5 x - 1,5 \cdot \ln (x^{2} + 1)$ mit $D_{f} = ℝ$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
Der Graph der Funktion $f$ , seine Asymptote und die Gerade mit der Gleichung $x = 3$ schließen ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung der Teilaufgabe 1.d und berechnen Sie die exakte Maßzahl seines Flächeninhalts.
Es gilt $\int_{- 3}^{3} (0,5 - f (x)) d x = 0$ (Nachweis nicht nötig!). Deuten Sie dieses Ergebnis geometrisch.

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