Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Betrachtet wird die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a} (x) = x \cdot e^{a x}$ und $a \in ℝ \ {0}$ . Für jeden Wert von $a$ besitzt die Funktion $f_{a}$ genau eine Extremstelle.

Begründen Sie, dass der Graph von $f_{a}$ für $x < 0$ unterhalb der x-Achse
verläuft.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Betrachte den Funktionsterm $x \cdot e^{a x}$ .
Es gilt immer: $e^{a x} > 0$ .
Ob der Graph von $f_{a}$ oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse verläuft, wird also nur vom Vorzeichen von $x$ beeinflusst.
Hier soll begründet werden, dass der Graph von $f_{a}$ für $x < 0$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft.
Es gilt also:
$\underset{< 0}{\underset{⏟}{x}} \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{e^{a x}}} < 0$ für alle $x < 0$ $\Rightarrow$ der Graph verläuft unterhalb der $x$ -Achse.
Betrachte den Funktionsterm $x \cdot e^{a x}$ .
Wie verhält sich $e^{a x}$ ?
Welche Bedingung erfüllt $x$ ?
Die abgebildeten Graphen I und II sind Graphen der Schar; einer der
beiden gehört zu einem positiven Wert von $a$ . Entscheiden Sie, welcher
Graph dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtung
Für ein positives $a$ und positives $x$ erhält man für das Verhalten von $f_{a}$ im Unendlichen $\lim_{x \to + \infty} x \cdot e^{a x} = + \infty$ .
Es kann also nur der Graph II sein.
(Graph I läuft für $x \to + \infty$ gegen $0$ .)
Betrachte das Verhalten von $f_{a}$ im Unendlichen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org