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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f : x \mapsto 8 x^{3} + 3 x$ mit der Ableitungsfunktion $f^{'}$ .

Berechnen Sie $f^{'} (1)$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Gegeben: $f (x) = 8 x^{3} + 3 x$
Man erhält für die erste Ableitung mithilfe der Potenzregel: $f^{'} (x) = 24 x^{2} + 3$ .
Gesucht ist nun $f^{'} (1)$ :
$f^{'} (1) = 24 \cdot 1^{2} + 3 = 27$
Antwort: $f^{'} (1) = 27$
Berechne die erste Ableitung mithilfe der Potenzregel.
Setze $x = 1$ in $f^{'} (x)$ ein.
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion $F$ von $f$ , deren
Graph durch den Punkt $(- 1 | 5)$ verläuft.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
Als erstes bilden wir die Stammfunktion der Potenzfunktion:
$F (x) = \frac{8}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + C = 2 x^{4} + 1,5 x^{2} + C$
Der Graph von $F$ soll durch den Punkt $(- 1 | 5)$ verlaufen, wir setzen also die Koordinaten des Punktes in $F$ ein:
$F (x)$ $=$ $2 x^{4} + 1,5 x^{2} + C$
↓
Setze $(- 1 | 5)$ ein.
$5$ $=$ $2 \cdot (- 1)^{4} + 1,5 \cdot (- 1)^{2} + C$
↓
Vereinfache.
$5$ $=$ $2 + 1,5 + C$
$5$ $=$ $3,5 + C$ $- 3,5$
$1,5$ $=$ $C$
Antwort: Die gesuchte Stammfunktion lautet: $F (x) = 2 x^{4} + 1,5 x^{2} + 1,5$ .
Berechne für die Potenzfunktion $f$ die Stammfunktion $F$ .
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in $F$ ein, um $C$ zu berechnen.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org