Aufgaben zum Verändern von Funktionsgraphen

Gegeben ist die Funktion $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2$ .

Führe nacheinander die folgenden Transformationen durch:
- Verschiebung um $3$ -Einheiten in y-Richtung nach oben
- Verschiebung um $2$ -Einheiten in x-Richtung nach links
- Spiegelung an der x-Achse
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
Verschiebung um $3$ -Einheiten in y-Richtung nach oben
$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2 \overset{\overset{}{Verschiebung um 3-Einheiten in y-Richtung nach oben}}{\to} f_{1} (x) = 2 x^{2} + 3 x + 5$
Man erhält die Funktion $f_{1}$ .
Verschiebung um $2$ -Einheiten in x-Richtung nach links
$f_{1} (x) \overset{\overset{}{Verschiebung um 2-Einheiten in x-Richtung nach links}}{\to} f_{2} (x) = 2 (x + 2)^{2} + 3 (x + 2) + 5$
Man erhält die Funktion $f_{2}$ .
Spiegelung an der x-Achse
$f_{2} (x) \overset{\overset{}{Spiegelung an der x-Achse}}{\to} f_{3} (x) = - 2 (x + 2)^{2} - 3 (x + 2) - 5$
Man erhält die Funktion $f_{3} = - 2 (x + 2)^{2} - 3 (x + 2) - 5 = - 2 x^{2} - 11 x - 19$ .
Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Drei Transformationen
Führe mit der gegebenen Funktion die drei Transformationen in der gegebenen Reihenfolge durch.
Ändert sich das Endergebnis (Funktionsterm), wenn die Reihenfolge der Transformationen geändert wird?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
Wähle eine andere Reihenfolge für die Durchführung der Transformationen.
Die Reihenfolge ist nun z.B. folgende:
Spiegelung an der x-Achse
Verschiebung um $3$ -Einheiten in y-Richtung nach oben
Verschiebung um $2$ -Einheiten in x-Richtung nach links
Die Funktion $g (x) = f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2$ wird transformiert:
Spiegelung an der x-Achse $g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2 \overset{\overset{}{Spiegelung an der x-Achse}}{\to} g_{1} (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 2$
Man erhält die Funktion $g_{1}$ .
Verschiebung um $3$ -Einheiten in y-Richtung nach oben $g_{1} (x) \overset{\overset{}{Verschiebung um 3-Einheiten in y-Richtung nach oben}}{\to} g_{2} (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 2 + 3$
Man erhält die Funktion $g_{2}$ .
Verschiebung um $2$ -Einheiten in x-Richtung nach links
$g_{2} (x) \overset{\overset{}{Verschiebung um 2-Einheiten in x-Richtung nach links}}{\to} g_{3} (x) = - 2 (x + 2)^{2} - 3 (x + 2) + 1$
Man erhält die Funktion $g_{3} (x) = - 2 (x + 2)^{2} - 3 (x + 2) + 1 = - 2 x^{2} - 11 x - 13$ .
Die folgende Abbildung ist nicht im Aufgabentext gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Vergleicht man die beiden Funktionsterme für das Ergebnis aus drei Transformationen aus Aufgabe a) und b), sieht man, dass die Funktionsterme unterschiedlich sind.
$a) \leftrightarrow b)$
$f_{3} (x) = - 2 x^{2} - 11 x - 19 \leftrightarrow g_{3} (x) = - 2 x^{2} - 11 x - 13$
Lässt man sich die Graphen der transformierten Funktionen anzeigen, dann sieht man, dass die $lilafarbigen$ Graphen unterschiedlich sind.
Demnach ist die Reihenfolge dieser drei Transformationen nicht vertauschbar.
Wähle eine andere Reihenfolge für die Transformationen und vergleiche Dein Ergebnis mit dem der Aufgabe a).

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