Zeige, dass sich der Vektor auf unendlich viele Arten als Linearkombination der Vektoren und darstellen lässt und deute das Ergebnis geometrisch.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Als Linearkombination darstellen bedeutet, dass du Zahlen finden musst, so dass:
Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:
Wenn du die zweite Gleichung halbierst, erhältst du erneut die erste Gleichung:
Somit handelt es sich um ein unterbestimmtes System mit unendlich vielen Lösungen.
Forme die erste Gleichung um, um die Lösungsmenge in Abhängigkeit von anzugeben:
Für ergibt sich zum Beispiel .
Für ergibt sich folglich
geometrische Interpretation
Bei genauerem Hinsehen solltest du erkennen, dass alle drei Vektoren kollinear sind, also paarweise parallel. Sie liegen also auf einer gemeinsamen Geraden.
Einen Vektor als Linearkombination von und darzustellen, bedeutet, Zahlen zu finden, mit denen und multipliziert werden können, so dass der Vektor entsteht.
Zeige, dass es unendlich viele solche Zahlen gibt.
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