Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

Bestimme die gesuchten Punktkoordinaten.

Gegeben sind die beiden Punkte $A (- 2 | 1 | 1)$ und $B (0 | 4 | 3)$ .
Verlängert man die Strecke $A B$ an B über sich selbst hinaus, erhält man die Koordinaten von C.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Du erhältst den Ortsvektor $\vec{C}$ von C, indem du den Verbindungsvektor $\vec{A B}$ zum Ortsvektor $\vec{B}$ addierst:
$\vec{C} = \vec{B} + \vec{A B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 - (- 2) \\ 4 - 1 \\ 3 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ 5 \end{array})$
und somit $C (2 | 7 | 5)$ .
Verwende einen Ortsvektor und einen Verbindungsvektor zur Bestimmung von C.
Bestimme den Punkt P, der in der Mitte zwischen A(2|1|-4) und B(3|1|1) liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Entweder kennst du die Formel $\vec{P} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{B})$ für den Mittelpunkt der Strecke oder du verwendest eine Vektorkette $\vec{P} = \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ zur Bestimmung des Ortsvektors.
Möglichkeit 1
$\vec{P} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{B}) = \frac{1}{2} ((\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array})) = \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ 1 \\ - 1,5 \end{array})$
Möglichkeit 2
$\vec{P} = \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 3 - 2 \\ 1 - 1 \\ 1 - (- 4) \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ 1 \\ - 1,5 \end{array})$
Die Mitte der Strecke ist also P(2,5|1|-1,5).
Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks A(1|0|0), B(0|3|0) und C(0|0|-4).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schwerpunkt
Verwende die Formel $\vec{S} = \frac{1}{3} (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{3} ((\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 4 \end{array})) = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ 1 \\ - \frac{4}{3} \end{array})$
Der Schwerpunkt liegt also bei $S (\frac{1}{3} | 1 | - \frac{4}{3})$
In einem Parallelogramm ABCD sind die Punkte B(0|0|-4), C(-2|0|-2) und D(-2|-3|0) gegeben. Bestimme die Koordinaten von A.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Somit ist $\vec{C B} = \vec{D A}$ .
$\vec{C B} = \vec{D A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
Somit kann man den Ortsvektor von A bestimmen, indem man $\vec{D A}$ zu $\vec{D}$ addiert:
$\vec{A} = \vec{D} + \vec{D A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 2 \end{array})$
In einem Trapez sind die Seiten $A B$ und $C D$ parallel zueinander, wobei $C D$ um 60% kürzer ist als $A B$ .
Bestimme die Koordinaten von B, wenn A(0|0|0), C(3|5|2) und D(1|2|2) bekannt sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Da die beiden Seiten parallel aber nicht gleich lang sind, gilt:
$\vec{D C} = 0,4 \cdot \vec{A B}$
Eine Skizze hilft, den Term zu verstehen:
Damit die Vektoren die gleiche Richtung haben, muss man zum Beispiel $\vec{A B}$ mit $\vec{D C}$ vergleichen (und nicht $\vec{C D}$ )
Die Strecke $D C$ ist die kürzere, also muss $\vec{A B}$ verkürzt werden.
Eine Verkürzung um 60% bedeutet, dass noch $100 % - 60 % = 40 %$ übrig sind.
Setze in die Gleichung ein:
$\vec{D C}$ $=$ $0,4 \cdot \vec{A B}$
↓
Da der Punkt B noch unbekannt ist, kann $\vec{A B}$ nicht gebildet werden
$(\begin{array}{c} 3 - 1 \\ 5 - 2 \\ 2 - 2 \end{array})$ $=$ $0,4 \cdot \vec{A B}$
$(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ $=$ $0,4 \cdot \vec{A B}$ $: 0,4$
$\frac{1}{0,4} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ $=$ $\vec{A B}$
$(\begin{array}{c} 5 \\ 7,5 \\ 0 \end{array})$ $=$ $\vec{A B}$
Für den Ortsvektor $\vec{B}$ kannst du nun verwenden, dass
$\vec{B} = \vec{A} + \vec{A B}$
Da A(0|0|0) der Ursprung des Koordinatensystems ist, ist $\vec{B} = \vec{A B}$ und somit
B(5|7,5|0)

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$\vec{D C}$	$=$	$0,4 \cdot \vec{A B}$
	↓	Da der Punkt B noch unbekannt ist, kann $\vec{A B}$ nicht gebildet werden
$(\begin{array}{c} 3 - 1 \\ 5 - 2 \\ 2 - 2 \end{array})$	$=$	$0,4 \cdot \vec{A B}$
$(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0,4 \cdot \vec{A B}$	$: 0,4$
$\frac{1}{0,4} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$	$=$	$\vec{A B}$
$(\begin{array}{c} 5 \\ 7,5 \\ 0 \end{array})$	$=$	$\vec{A B}$

Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

Möglichkeit 1

Möglichkeit 2