Wahlteil - CAS

Aufgabe 3B

Für $k \in ℝ$ mit $0 < k \leq 6$ werden die Pyramiden $A B C D_{k}$ mit $A (0 | 0 | 0), B (4 | 0 | 0), C (0 | 4 | 0)$ und $D_{k} (0 | 0 | k)$ betrachtet (vgl. Abbildung 1).

Der Mittelpunkt der Strecke $B C$ ist $M (2 | 2 | 0)$ .

Begründen Sie, dass das Dreieck $B C D_{k}$ gleichschenklig ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $B C D_{k}$ für $k = 6$ . (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Begründung, dass das Dreieck $B C D_{k}$ gleichschenklig ist
Zwei Dreiecksseiten müssen gleichlang sein.
Berechne die Vektoren $\vec{D_{k} B}$ und $\vec{D_{k} C}$ .
$\vec{D_{k} B} = \vec{O B} - \vec{D_{k}} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ k \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - k \end{array})$
$\vec{D_{k} C} = \vec{O C} - \vec{D_{k}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ k \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ - k \end{array})$
Die Beträge der beiden Vektoren sind gleich groß (es treten die gleichen Vektorkoordinaten auf).
Flächeninhalt des Dreiecks $B C D_{k}$ für $k = 6$
Es ist $D_{6} (0 | 0 | 6)$ .
Die Dreieckshöhe ist $| \vec{M D_{6}} |$ :
$\vec{M D_{6}} = \vec{O D_{6}} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
$\Rightarrow | \vec{M D_{6}} | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{44}$
Die Basis des Dreiecks ist der Vektor $\vec{B C}$ .
$\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
$\Rightarrow | \vec{B C} | = \sqrt{(- 4)^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{32} .$
Für den Flächeninhalt erhält man dann:
$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32} \cdot \sqrt{44} = 4 \cdot \sqrt{22} \approx 18,8 FE$
Teil 1
Berechne die Vektoren $\vec{D_{k} B}$ und $\vec{D_{k} C}$ und vergleiche ihre Beträge.
Teil 2
Die Dreieckshöhe ist $| \vec{M D_{6}} |$ . Die Basis des Dreiecks ist der Vektor $\vec{B C}$ .
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann $0,5 \cdot | \vec{B C} | \cdot | \vec{M D_{6}} |$ .
Für jeden Wert von $k$ liegt die Seitenfläche $B C D_{k}$ in der Ebene $L_{k}$ .
Bestimmen Sie eine Gleichung von $L_{k}$ in Koordinatenform. (4 BE)
[Zur Kontrolle: $x + y + \frac{4}{k} \cdot z = 4$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebenen
Gleichung von $L_{k}$ in Koordinatenform
Es ist allgemein $E : a x + b y + c z = d$
Setze nacheinander die Koordinaten der Punkte $B (4 | 0 | 0), C (0 | 4 | 0)$ und $D_{k} (0 | 0 | k)$ ein. Man erhält ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{rccccccc} I & a \cdot 4 & + & b \cdot 0 & + & c \cdot 0 & = & d \\ II & a \cdot 0 & + & b \cdot 4 & + & c \cdot 0 & = & d \\ III & a \cdot 0 & + & b \cdot 0 & + & c \cdot k & = & d \end{array}$
Aus $I \Rightarrow a = \frac{d}{4}$ .
Aus $II \Rightarrow b = \frac{d}{4}$ .
Aus $III \Rightarrow c = \frac{d}{k}$ .
$L_{k} : a x + b y + c z = d \Rightarrow \frac{d}{4} \cdot x + \frac{d}{4} \cdot y + \frac{d}{k} \cdot z = d$
Für $d = 4$ folgt dann:
$L_{k} : x + y + \frac{4}{k} \cdot z = 4$
Es ist allgemein $E : a x + b y + c z = d$
Setze nacheinander die Koordinaten der Punkte $B (4 | 0 | 0), C (0 | 4 | 0)$ und $D_{k} (0 | 0 | k)$ ein.
Man erhält ein lineares Gleichungssystem.
Ermitteln Sie den Wert von $k$ , für den die Größe des Winkels, unter dem die $z$ -Achse die Ebene $L_{k}$ schneidet, $30^{\circ}$ beträgt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen
Wert von $k$ , für den die Größe des Winkels $30^{\circ}$ beträgt
Der Normalenvektor der z-Achse ist ${\vec{n}}_{z} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ und sein Betrag ist gleich $1$ .
Der Normalenvektor der Ebene $L_{k}$ ist ${\vec{n}}_{L_{k}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array})$ und sein Betrag ist $\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(\frac{4}{k})}^{2}} = \sqrt{2 + \frac{16}{k^{2}}}$ .
Für den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene gilt allgemein:
$𝐬 𝐢 𝐧 𝛂 = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐮} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐮} |}$
Setze nun $\sin 30^{\circ} = 0,5$ und die beiden Normalenvektoren und ihre Beträge ein:
$0,5 = \frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}) |}{1 \cdot \sqrt{2 + \frac{16}{k^{2}}}} \Rightarrow 0,5 = \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{2 + \frac{16}{k^{2}}}}$
Der CAS-Rechner liefert als Lösung $k \approx 4,898979...$ .
Für $k \approx 4,9$ schneidet die Ebene $L_{4,9}$ die z-Achse unter einem Winkel von $30^{\circ}$ .
Bestimme die Normalenvektoren der z-Achse und von der Ebene $L_{k}$ .
Für den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene gilt allgemein: $𝐬 𝐢 𝐧 𝛂 = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐮} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐮} |}$
Setze $α = 30^{\circ}$ und die beiden Normalenvektoren und ihre Beträge ein und löse nach $k$ auf.
Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der nebenstehenden Abbildung gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte $A$ und $Q (1 | 1 | 3)$ sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen. Für $k = 6$ enthält die Seitenfläche $B C D_{k}$ der Pyramide den Eckpunkt $Q$ des Quaders. Für kleinere Werte von $k$ schneidet die Seitenfläche $B C D_{k}$ den Quader in einem Vieleck.
Für einen Wert von $k$ liegen die Eckpunkte $P$ und $R$ des Quaders in der Seitenfläche $B C D_{k}$ .
Bestimmen Sie diesen Wert von $k$ .
[Zur Kontrolle: $k = 4$ ]
Für diesen Wert von $k$ liegt ein Punkt einer vorderen Kante ebenfalls in der
Seitenfläche $B C D_{k}$ .
Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes. (6 BE)
Wert von $k$
Gegeben ist $Q (1 | 1 | 3)$ . Der Punkt $P$ hat dieselben x- und z-Koordinaten wie $Q$ .
Seine y-Koordinate ist gleich null $\Rightarrow P (1 | 0 | 3)$ .
Setze $P (1 | 0 | 3)$ in $L_{k} : x + y + \frac{4}{k} z = 4$ ein:
$1 + 0 + \frac{4}{k} \cdot 3 = 4 \Rightarrow \frac{12}{k} = 3 \Rightarrow k = 4$
Für $k = 4$ liegen die Eckpunkte $P$ und $R$ des Quaders in der Seitenfläche $B C D_{4}$
Für $k = 4$ liegt ein Punkt einer vorderen Kante ebenfalls in der Seitenfläche $B C D_{4}$ .
Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes
Ein Punkt auf der vorderen Kante des Quaders hat die Koordinaten $(1 | 1 | h)$ mit $0 \leq h \leq 3.$ Die Ebene lautet $L_{4} : x + y + \frac{4}{4} \cdot z = 4 \Rightarrow L_{4} : x + y + z = 4$ .
Setze diesen Punkt in $L_{4} : x + y + z = 4$ ein:
$1 + 1 + h = 4 \Rightarrow h = 2$
Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $(1 | 1 | 2)$ .
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Skizze
In Rot ist die Pyramide $A B C D_{6}$ gezeichnet. Der eingezeichnete Punkt $E$ hat die Koordinaten $(1 | 1 | 2)$ und liegt in der Ebene $L_{4}$ .
Teil 1
Der Punkt $P$ hat dieselben x- und z-Koordinaten wie $Q$ und seine y-Koordinate ist gleich null.
Setze $P$ in $L_{k}$ ein und bestimme $k$ .
Teil 2
Ein Punkt auf der vorderen Kante des Quaders hat die Koordinaten $(1 | 1 | h)$ mit $0 \leq h \leq 3.$
Setze diesen Punkt in $L_{4}$ ein.
Geben Sie in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche $B C D_{k}$ den Quader schneidet. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
Anzahl der Eckpunkte des Vielecks, in dem die Seitenfläche $B C D_{k}$ den Quader schneidet
Für $0 < k \leq 3$ werden die senkrechten Kanten zu den Punkten $P, Q$ und $R$ und die Kante auf der z-Achse geschnitten $\Rightarrow 4$ Schnittpunkte
Für $3 < k < 4$ werden zwei Kanten im oberen Quadrat und $3$ senkrechte Kanten $P, Q$ und $R$ geschnitten $\Rightarrow 5$ Schnittpunkte
Für $4 \leq k < 6$ werden die Kanten $P Q$ , $Q R$ und die senkrechte Kante zum Punkt $Q$ geschnitten $\Rightarrow 3$ Schnittpunkte
Überlege Dir, wie für $0 < k \leq 3$ die Ebene $B C D_{k}$ den Quader in welchen Kanten schneiden kann.
Betrachte ebenso die Bereiche $3 < k < 4$ und $4 \leq k < 6$ .
Nun wird die Pyramide $A B C D_{6}$ betrachtet.
Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der $x y$ -Ebene, haben den Eckpunkt $A$ gemeinsam und sind quadratisch.
Die Höhe $h$ der Quader durchläuft alle reellen Werte mit $0 < h < 6$ . Für jeden Wert von $h$ liegt der Eckpunkt $Q_{h}$ in der Seitenfläche $B C D_{6}$ der Pyramide.
Ermitteln Sie die Koordinaten des
Punktes $Q_{h}$ . (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Koordinaten des Punktes $Q_{h}$
Der Punkt $Q_{h}$ liegt auf der Strecke $M D_{6}$ .
Der Vektor $\vec{M D_{6}} = \vec{O D_{6}} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
Dann gilt für $0 \leq r \leq 1$ : ${\vec{x}}_{M D_{6}} = \vec{O M} + r \cdot \vec{M D_{6}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
Der Punkt $Q_{h}$ hat die z-Koordinate $h$ , dann folgt für die dritte Gleichung der Geraden:
$h = 0 + 6 \cdot r \Rightarrow r = \frac{h}{6}$
Eingesetzt in die Geradengleichung erhält man:
${\vec{x}}_{Q} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + \frac{h}{6} \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - \frac{h}{3} \\ 2 - \frac{h}{3} \\ h \end{array})$
Also hat $Q_{h}$ die Koordinaten $(2 - \frac{h}{3} | 2 - \frac{h}{3} | h)$ .
Erstelle eine Geradengleichung durch die Punkte $M$ und $D_{6}$ .
Der Punkt $Q_{h}$ hat die z-Koordinate $h$ und liegt auf der Geraden.