Wahlteil - GTR

Vierfeldertafel

A: „Die Person nutzt das Internet.“

B: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

Dann ist gegeben:

$P(A)=88\%$ und $P(A\cap B)=17\%$

$\Rightarrow P(\overline{B}\cap A)=88\%-17\%=71\%$

Weiterhin ist $P(B)={\displaystyle \frac{\mathrm{16,4}\cdot {10}^6}{\mathrm{60,7}\cdot {10}^6}}\approx 27\%$.

Dann ist $P(\overline{B})=1-P(B)=73\%$.

$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=27\%-17\%=10\%$

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{B})-P(A\cap \overline{B})=73\%-71\%=2\%$

$P(\overline{A})=P(\overline{A}\cap B)+P(\overline{A}\cap \overline{B})=10\%+2\%=12\%$

Das ergibt folgende Vierfeldertafel:

Sind die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

Es gilt zum Beispiel: $P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{17\%}{27\%}}\approx 63\%$

Andererseits ist aber $P(A)=88\%$.

Da $P_B(A)\ne P(A)\Rightarrow A$ und $B$ sind stochastisch abhängig.

Ereignis „⁣$\bar{A}$ und $B$" im Sachzusammenhang

$\overline{A}$: „Die Person nutzt kein Internet.“

$B$: „Die Person ist mindestens 65 Jahre alt.“

Dann ist „⁣$\overline{A}$ und $B$": Die Person ist mindestens 65 Jahre alt und nutzt das Internet nicht.

Ausgewählte Person ist jünger als 65 Jahre und nutzt das Internet

A: „Die Person nutzt das Internet.“

$\overline{B}$: „Die Person ist jünger als 65 Jahre.“

$P(A\cap \overline{B})=71\%$ und $P(\overline{B})=73\%$ (siehe Vierfeldertafel)

Dann ist $P_{\overline{B}}(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}}={\displaystyle \frac{71\%}{73\%}}\approx 97\%$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt rund $97\%$.

Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als $10\%$ vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht

Es ist $X$: die Anzahl derjenigen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen

Dabei ist $X$binomialverteilt mit $p=\mathrm{0,72}$ und $n=150$.

Der Erwartungswert beträgt: $\mu =n\cdot p=150\cdot \mathrm{0,72}=108$

$10\%$ vom Erwartungswert: $\mathrm{0,1}\cdot 108=\mathrm{10,8}$

Dann ist $\mu -10\%$ von $\mu =108-\mathrm{10,8}=\mathrm{97,2}$ und $\mu +10\%$ von $\mu =108+\mathrm{10,8}=\mathrm{118,8}$

Das genaue Intervall um den Erwartungswert ist $[\mathrm{97,2};\mathrm{118,8}]$. Da es nur ganze Personen gibt, müssen die Werte auf jeden Fall gerundet werden. Das Intervall wird kleiner gerundet $[98;118],$ da die Werte $97$ bzw. $119$ um mehr als $10\%$ vom Erwartungswert entfernt sind. Die Vorgabe laut Aufgabenstellung ist "weniger als $10\%$ ".

Also wird berechnet: $P(98\le X\le 118)=\text{binomCdf}(\mathrm{150,0.72,98,118})\approx \mathrm{0,9444}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als $10\%$ vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht, beträgt rund $94\%.$

Anzahl der Personen bestimmen

Es ist $P(X>2)=1-P(X\le 2)>\mathrm{0,98}\Rightarrow P(X\le 2)<\mathrm{0,02}$

Für $n=7$ erhält man $P(X\le 2)=\text{binomCdf}(\mathrm{7,0.72,0,2})\approx \mathrm{0,0213}>\mathrm{0,02}$

Für $n=8$ erhält man $P(X\le 2)=\text{binomCdf}(\mathrm{8,0.72,0,2})\approx \mathrm{0,0078}<\mathrm{0,02}$

Damit ist $n\ge 8$.

Es müssen mindestens $8$ Personen ausgewählt werden.

Term $\frac{195-(k-w)}{300-k}$ im Sachzusammenhang

Wenn sich im 1. Behälter $k$ Kugeln befinden, dann sind im 2. Behälter $300-k$ Kugeln.

Im 1. Behälter sind $w$ Kugeln weiß. Dann sind im 2. Behälter $105-w$ Kugel weiß.

Die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine weiße Kugel zu ziehen ist:

Die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine schwarze Kugel zu ziehen ist:

Der Term ${\displaystyle \frac{195-(k-w)}{300-k}}$ ist demnach die Wahrscheinlichkeit aus dem 2. Behälter eine schwarze Kugel zu ziehen.

Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter

I. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{12,5}\%$ sind beide entnommenen Kugeln weiß.

Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel aus dem 1. Behälter zu ziehen ist $P(w)={\displaystyle \frac{w}{k}}$ und ebenfalls eine weiße Kugel aus dem 2. Behälter zu ziehen ist $P(w)={\displaystyle \frac{105-w}{300-k}}$.

Dann gilt:

$P(ww)={\displaystyle \frac{w}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{105-w}{300-k}}=\mathrm{0,125}$

II. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{37,5}\%$ ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel schwarz und die aus dem zweiten Behälter entnommene Kugel weiß.

Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel aus dem 1. Behälter zu ziehen ist $P(s)={\displaystyle \frac{k-w}{k}}$ und eine weiße Kugel aus dem 2. Behälter zu ziehen ist $P(w)={\displaystyle \frac{105-w}{300-k}}$.

Dann gilt:

$P(sw)={\displaystyle \frac{k-w}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{105-w}{300-k}}=\mathrm{0,375}$

Es gibt nun ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten $k$ und $w$:

$(\mathrm{I}):{\displaystyle \frac{w}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{105-w}{300-k}}=\mathrm{0,125}$

$(\mathrm{I}\mathrm{I}):{\displaystyle \frac{k-w}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{105-w}{300-k}}=\mathrm{0,375}$

Da beide Gleichungen den Term ${\displaystyle \frac{105-w}{300-k}}$ als Faktor enthalten, kann

Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ durch Gleichung $(\mathrm{I})$ geteilt werden.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{k-w}{k}}}{{\displaystyle \frac{w}{k}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,375}}{\mathrm{0,125}}}=3\Rightarrow {\displaystyle \frac{k-w}{w}}=3\Rightarrow {\displaystyle \frac{k}{w}}-1=3$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{k}{w}}=4$ bzw. $k=4w$

Setze $k=4w$ in Gleichung $(\mathrm{I})$ ein:

${\displaystyle \frac{w}{4w}}\cdot {\displaystyle \frac{105-w}{300-4w}}=\mathrm{0,125}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{105-w}{300-4w}}=\mathrm{0,125}$

Der GTR liefert als Lösung $w=45$.

Die Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter beträgt $45$.