Mathe Geometrie Analytische Geometrie Methoden der Vektorrechnung Winkel zwischen zwei Vektoren Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren

Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 4 \end{array})$ , mit $t \in ℝ$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array})$ .

Für welche Werte von $t$ schließen die beiden Vektoren einen Winkel von $45^{\circ}$ ein?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Es ist $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Weiterhin gilt:

$\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{(\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array})}{| (\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 4 \end{array}) | \cdot | (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array}) |}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array})}{\| (\begin{array}{c} 2 \\ t \\ 4 \end{array}) \| \cdot \| (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array}) \|}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und die Beträge.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{2 \cdot 6 + 0 + 4 \cdot 6}{\sqrt{2^{2} + t^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{6^{2} + 0^{2} + 6^{2}}}$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{36}{\sqrt{20 + t^{2}} \cdot \sqrt{2 \cdot 36}}$
	↓	Ziehe die Wurzel und kürze.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{20 + t^{2}} \cdot \sqrt{2}}$	$\cdot \sqrt{2}$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$1$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{20 + t^{2}}}$	$\cdot \sqrt{20 + t^{2}}$
$\sqrt{20 + t^{2}}$	$=$	$6$	$()^{2}$
$20 + t^{2}$	$=$	$36$	$- 20$
$t^{2}$	$=$	$16$

Die Gleichung $t^{2} = 16$ hat die Lösungen $t_{1} = - 4$ und $t_{2} = 4$ .

Antwort: Die beiden Vektoren ${\vec{a}}_{1} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 4 \end{array})$ und ${\vec{a}}_{2} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array})$ schließen mit dem Vektor $\vec{b} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 6 \end{array})$ einen Winkel von $45^{\circ}$ ein.

Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung:

Es ist $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Löse mit den gegebenen Vektoren die Gleichung: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

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