Prüfungsaufgaben Mathematik 2021

Aufgabe 2: Funktionen

Gegeben ist die lineare Funktion $f$ mit der Gleichung $y = 3 x + 1$ .

Zeichnen Sie den Graphen der linearen Funktion $f$ in das vorgegebene Koordinatensystem. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Markiere, wo die Gerade durch die y-Achse verläuft (y-Achsenabschnitt).
Zeichne ein Steigungsdreieck mit der angegebenen Steigung ( $m = 3$ ).
Zeichne die vollständige Gerade.
Entscheiden Sie, welche Aussagen für die Funktion $f$ zutreffen.
Kreuzen Sie die beiden richtigen Aussagen an. (2 P)
- Der Punkt $Q (5 | 0)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f$ .
- Der Graph der Funktion $f$ ist monoton steigend.
- Der Graph der Funktion $f$ schneidet die y-Achse im Punkt $P (0 | 1)$ .
- Der Graph der Funktion $f$ verläuft durch den Koordinatenursprung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Die erste Aussage ist falsch. Setzt man $x = 5$ in die Funktion ein, ergibt sich $y = 16$
Die zweite Aussage stimmt. Dies kann aus dem Graphen abgelesen werden.
Die dritte Aussage stimmt. Setzt man $x = 0$ in die Funktion ein, ergibt sich $y = 1$
Die vierte Aussage ist falsch. Dies kann aus dem Graphen abgelesen werden.
Überprüfe die einzelnen Aussagen anhand des Graphen der Funktion und durch Einsetzen der Punkte in die Funktionsgleichung.
$*$ Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y = x^{2} + 2 x - 1$ ist eine Parabel. Der Graph der Funktion mit der Gleichung $y = 3 x + 1$ ist eine Gerade.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Gleichsetzen der beiden Funktionen und Auflösen nach $x$
$x^{2} + 2 x - 1$ $=$ $3 x + 1$ $- (3 x + 1)$
$x^{2} - x - 2$ $=$ $0$
↓
Verwende die Mitternachtsformel und löse nach $x$ auf
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - (4 \cdot 1 \cdot (- 2))}}{2}$
↓
zusammenfassen
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$
$x_{1}$ $=$ $2$
$x_{2}$ $=$ $- 1$
Einsetzen von $x_{1}$ und $x_{2}$ in die Funktion der Geraden
$y_{1}$ $=$ $3 \cdot x_{1} + 1$
↓
Einsetzen von $x_{1} = 2$
$y_{1}$ $=$ $3 \cdot 2 + 1$
$y_{1}$ $=$ $7$
$y_{2}$ $=$ $3 \cdot x_{2} + 1$
↓
Einsetzen von $x_{2} = - 1$
$y_{2}$ $=$ $3 \cdot (- 1) + 1$
$y_{2}$ $=$ $- 2$
Die beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten $S_{1} (2 | 7)$ und $S_{2} (- 1 | - 2)$
Setze beide Funktion gleich und löse nach $x$ auf.
Setze die gefundenen Werte in eine Funktion ein und berechne die Werte für $y$ .

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$x^{2} + 2 x - 1$	$=$	$3 x + 1$	$- (3 x + 1)$
$x^{2} - x - 2$	$=$	$0$
	↓	Verwende die Mitternachtsformel und löse nach $x$ auf
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - (4 \cdot 1 \cdot (- 2))}}{2}$
	↓	zusammenfassen
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$
$x_{1}$	$=$	$2$
$x_{2}$	$=$	$- 1$

$y_{1}$	$=$	$3 \cdot x_{1} + 1$
	↓	Einsetzen von $x_{1} = 2$
$y_{1}$	$=$	$3 \cdot 2 + 1$
$y_{1}$	$=$	$7$

$y_{2}$	$=$	$3 \cdot x_{2} + 1$
	↓	Einsetzen von $x_{2} = - 1$
$y_{2}$	$=$	$3 \cdot (- 1) + 1$
$y_{2}$	$=$	$- 2$