Teil 1, Analysis

Der zum Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems punktsymmetrische Graph $G_{f}$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ besitzt einen lokalen Tiefpunkt an der Stelle $x = - 2$ .

Skizzieren Sie mithilfe der oben genannten Eigenschaften von $f$ einen möglichen Graphen dieser Funktion und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte $f (x)$ für $x \to - \infty$ und $x \to \infty$ an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Graph skizzieren
Da der Graph der ganzrationalen Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, verläuft er durch den Ursprung.
Markiere den Tiefpunkt bei $x = - 2$ . Aufgrund der Symmetrie ist außerdem bei $x = 2$ ein Hochpunkt.
Da der Grad der Funktion 3 ist, gibt es maximal zwei Extremstellen. Diese sind bei $x = 2$ und $x = - 2$ . Es gibt also keine weiteren als die oben beschriebenen.
möglicher Graph
Globalverlauf
Wenn du den Graph korrekt skizziert hast, kannst du den Globalverlauf jetzt direkt ablesen. Verwende zum Beispiel die Limes-Schreibweise:
$\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$
und
$\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$
Du weißt keine y-Koordinaten
Beachte die Punktsymmetrie: Was lernt man daraus, dass bei $x = - 2$ ein Tiefpunkt ist? Was haben alle Graphen einer punktsymmetrischen, ganzrationalen Funktion gemeinsam?
Ermittle aus deiner Skizze den Globalverlauf.
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen $G_{f^{'}}$ der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ mit Worten. Geben Sie dabei insbesondere die Nullstellen der Funktion $f^{'}$ , die Lage des Extrempunktes und das Symmetrieverhalten des Graphen $G_{f^{'}}$ an. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Der Graph $G_{f^{'}}$ hat bei $x = - 2$ und $x = 2$ einfache Nullstellen (da $G_{f}$ dort Extremstellen hat).
Links von $x = - 2$ und rechts von $x = 2$ verläuft er unterhalb der x-Achse (da $G_{f}$ dort streng monoton fällt), sonst darüber.
Der Graph von $G_{f^{'}}$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse (da $G_{f}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist)
Der Extrempunkt von $G_{f^{'}}$ ist ein Hochpunkt. Er liegt auf der y-Achse (aufgrund der Symmetrie von $G_{f^{'}}$ bzw. weil $G_{f^{'}}$ eine Parabel ist, liegt er mittig zwischen den Nullstellen)
Kurz gesagt: Der Graph der Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $x = - 2$ und $x = 2$ und dem Scheitelpunkt auf der y-Achse. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Vergiss keinen gefragten Aspekt!
Monotonie und Extrema:
Hat $G_{f}$ eine Extremstelle, so hat $G_{f^{'}}$ dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
Fällt $G_{f}$ in einem Intervall, so verläuft $G_{f^{'}}$ in diesem Intervall unterhalb der x-Achse (gegenteilig für steigend)
Symmetrie: Ist $G_{f}$ achsensymmetrisch, so ist $G_{f^{'}}$ punktsymmetrisch (und umgekehrt)
Der Extrempunkt von $G_{f^{'}}$ liegt bei der Wendestelle von $G_{f}$ . Außerdem liegt er aufgrund der Symmetrie mittig zwischen den Extremstellen.

Du musst deine Angaben nicht erklären

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

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