Heft 2 - B3

Um Gewinn zu machen, muss der Erlös größer als die Kosten sein.

Markiere diesen Bereich auf der $x$ -Achse. (1 Punkt)

Indem wir auf die $x$ -Achse die $x$ -Werte der Schnittpunkte von $k (x)$ und $e (x)$ abtragen, erhalten wir zum Beispiel eine Skizze wie die Folgende:
Berechne, bei welchen Stückzahlen die Erlöse und die Kosten gleich sind. (3 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Wir setzen die Kosten- und Erlösfunktion gleich und lösen dann nach $x$ auf.
Das können wir zum Beispiel folgendermaßen machen:
$k (x)$ $=$ $e (x)$
↓
Einsetzen der Funktionsgleichungen
$80 x + 60000$ $=$ $0,1 x (4000 - x)$
↓
Rechte Seite ausmultiplizieren
$80 x + 60000$ $=$ $400 x - 0,1 x^{2}$ $+ 0,1 x^{2} - 400 x$
$0,1 x^{2} - 320 x + 60000$ $=$ $0$
Nun können wir die Mitternachtsformel verwenden und erhalten
$\begin{aligned} x & = \frac{320 \pm \sqrt{(- 320)^{2} - 4 \cdot 0,1 \cdot 60000}}{2 \cdot 0,1} = \frac{320 \pm \sqrt{102400 - 24000}}{0,2} \\ = 5 (320 \pm 280) \end{aligned}$
Wir erhalten also die beiden Werte $x_{1} = 200$ und $x_{2} = 3000$ , das heißt bei einer Stückzahl von $200$ oder von $3000$ Winterjacken sind Erlös und Kosten gleich.
Setze $k (x) = e (x)$ und löse nach $x$ auf.

$k (x)$	$=$	$e (x)$
	↓	Einsetzen der Funktionsgleichungen
$80 x + 60000$	$=$	$0,1 x (4000 - x)$
	↓	Rechte Seite ausmultiplizieren
$80 x + 60000$	$=$	$400 x - 0,1 x^{2}$	$+ 0,1 x^{2} - 400 x$
$0,1 x^{2} - 320 x + 60000$	$=$	$0$