Heft 2 - B3

Peter und Paula wollen untersuchen, welchen Einfluss die Anfangstemperatur auf die Dauer der Abkühlung von Getränken hat. Dazu beschreiben sie die Funktion mit der folgenden Gleichung:

$f (x) = b \cdot a^{x}$

Beschreibe, was die Parameter $a$ und $b$ im Kontext der Abkühlung von Getränken bedeuten. (2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Ganz allgemein entspricht bei einer Exponentialfunktion $f (x) = b \cdot a^{x}$ der Parameter $b$ dem Schnittpunkt mit der $y$ -Achse, also dem Funktionswert $f (0)$ bei $x = 0$ . Dieser Wert nennt man auch Anfangswert.
Der Parameter $a$ ist der Wachstumsfaktor.
Im gegebenem Kontext entspricht also $b$ der Anfangstemperatur des Getränks und $a$ der Geschwindigkeit, mit welcher das Getränk abkühlt (umso kleiner $a$ ist, desto schneller kühlt das Getränk ab).
Gib ein sinnvolles Intervall für $a$ an. (1 Punkt)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Wir können als Erstes feststellen, dass auf jeden Fall $a > 0$ gelten muss, denn sonst wäre die Exponentialfunktion $f (x) = b \cdot a^{x}$ nicht definiert.
Wir überlegen uns nun eine obere Schranke für $a$ und können hierbei davon ausgehen, dass stets $b > 0$ gelten wird (denn sonst wäre ja das Getränk bereits zu Beginn kälter als $0^{\circ} C$ ).
Für $a > 1$ ist dann der Graph der Funktion steigend, für $a = 1$ konstant $b$ und für $a < 1$ fallend.
Da wir ja aber das Abkühlen beobachten möchten, macht nur der Fall $a < 1$ Sinn (andernfalls würde das Getränk ja nur noch wärmer werden oder durchgehend die gleiche Temperatur beibehalten).
Insgesamt ist somit ein geeignetes Intervall $] 0; 1 [$ .
Paula fragt "Was ändert sich, wenn wir zum Funktionsterm noch ein $d$ addieren?" Die Funktionsgleichung sieht dann so aus:
$f (x) = b \cdot a^{x} + d$
Ordne die Funktionsgleichungen den passenden Graphen zu. (2 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
Der Parameter $d$ entspricht einer Verschiebung des Funktionsgraphen um $d$ Einheiten in $y$ -Richtung.
So ist $h$ im Vergleich zu $g$ um 10 nach oben und $i$ im Vergleich zu $g$ um 10 nach unten verschoben. Das reicht bereits, um beurteilen zu können, dass $i$ dem niedrigsten Funktionsgraphen entspricht, also III, $g$ dem mittleren, also II und $h$ dem obersten, also I.
Überlege Dir, was die Bedeutung von $d$ für den Funktionsgraphen ist!
Alternativ kann man auch die $y$ -Schnittpunkte vergleichen.
Beschreibe, wie sich die Veränderung des Parameters $d$ auf den Graphen auswirkt. (1 Punkt)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verschieben
Der Parameter $d$ entspricht einer Verschiebung des Funktionsgraphen um $d$ Einheiten in $y$ -Richtung.
Für $d > 0$ ist hierbei der Funktionsgraph um $d$ Einheiten nach oben und für $d < 0$ um $d$ Einheiten nach unten verschoben.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org