Heft 2 - B3

Eine andere Gruppe misst die Temperatur beim Abkühlen von Kaffee, der mit kochendem Wasser von $100^{\circ} C$ aufgegossen wurde.

Die Tabelle zeigt die Temperatur zu verschiedenen Zeitpunkten.

vergangene Zeit in min	Temperatur in $^{\circ} 𝐂$
0	100,0
1	89,0
2	79,2
3	70,5

Ben behauptet, dass der Zusammenhang weder linear noch antiproportional ist.
Begründe, dass Bens Behauptung korrekt ist. (2 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Indirekte Proportionalität
Linearer Zusammenhang
Um auszuschließen, dass ein linearer Zusammenhang vorliegt, stellen wir fest, dass die Differenz zwischen den Temperaturwerten bei gleichbleibender Zeitdifferenz nicht konstant bleibt.
So kühlt der Kaffe beispielsweise von Minute 0 zu Minute 1 um $11^{\circ} C$ ab, aber von Minute 1 zu Minute 2 nur um ${9,8}^{\circ} C$ und von Minute 2 zu Minute 3 sogar nur um ${8,7}^{\circ} C$ .
Antiproportionaler Zusammenhang
Hier stellen wir fest, dass keine Produktgleichheit vorliegt, es sind nämlich
$\begin{aligned} 0 \cdot 100 & = 0 \\ 1 \cdot 89,0 & = 89,0 \\ 2 \cdot 79,2 & = 158,4 \\ 3 \cdot 70,5 & = 211,5 \end{aligned}$
alle verschieden voneinander!
Ela schlägt vor, die Abkühlung mit einer Exponentialfunktion zu beschreiben.
Gib eine Funktionsgleichung an, die den Prozess annähert. (2 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion ist von der Form $f (x) = b \cdot a^{x}$ , wobei $b$ der Anfangswert und $a$ der Wachstumsfaktor ist.
Aus der Tabelle kann man ablesen, dass der Anfangswert $100^{\circ} C$ beträgt, also ist hier $b = 100$ und $f (x) = 100 \cdot a^{x}$ .
Um $a$ zu bestimmen, können wir zum Beispiel in unsere bisherige Funktionsgleichung $x = 1$ einsetzen und erhalten mithilfe der Tabelle:
$f (1)$ $=$ $100 \cdot a^{1}$
↓
Temperatur des Kaffees nach einer Minute einsetzen
$89,0$ $=$ $100 \cdot a$ $\div 100$
$0,89$ $=$ $a$
Also ist $a = 0,89$ und wir erhalten die Funktionsgleichung $f (x) = 100 \cdot (0,89)^{x}$ .
Verwende die allgemeine Form der Exponentialfunktion und bestimme die Werte der Parameter.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$f (1)$	$=$	$100 \cdot a^{1}$
	↓	Temperatur des Kaffees nach einer Minute einsetzen
$89,0$	$=$	$100 \cdot a$	$\div 100$
$0,89$	$=$	$a$

Heft 2 - B3

Linearer Zusammenhang

Antiproportionaler Zusammenhang