Teil 2 Stochastik 2

Am Pausenverkauf einer großen Mädchenschule kaufen an einem Tag erfahrungsgemäß $30 %$ aller Schülerinnen eine Breze. Es werden 20 Schülerinnen an einem bestimmten Tag zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele von diesen am betrachteten Tag eine Breze kaufen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
$E_{1}$ : „Nur die letzten beiden Schülerinnen kaufen eine Breze.“
$E_{2}$ : „Genau zehn der Schülerinnen kaufen keine Breze.“
(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Experiment
Laut Aufgabenstellung geht es um $n = 20$ Schülerinnen und $p = 0,3$ .
Wahrscheinlichkeit von $E_{1}$
Da es genau die letzten beiden Schülerinnen sind, die sich keine Breze kaufen, gibt es nur genau ein mögliches Ergebnis:
$P (E_{1}) = {0,7}^{18} \cdot {0,3}^{2} \approx 0,00015$
Wahrscheinlichkeit von $E_{2}$
Es sollen genau 10 Schülerinnen keine Breze kaufen, also auch genau 10, die eine kaufen.
Dieses Mal ist die Reihenfolge aber egal. Verwende deshalb die Bernoulli-Formel (oder das Tafelwerk):
$P (E_{2}) = B (20; 0,3; 10) = (\binom{20}{10}) \cdot {0,3}^{10} \cdot {0,7}^{10} \approx 0,03082$
Es handelt sich grundsätzlich um ein Bernoulli-Experiment.
Beachte bei $E_{1}$ , dass die Reihenfolge wichtig ist .
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und interpretieren Sie diesen im Sachzusammenhang. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße lässt sich schnell berechnen durch:
$μ = n \cdot p = 20 \cdot 0,3 = 6$
Interpretation
Ein Erwartungswert beschreibt stets den durchschnittlich zu erwartenden Wert der Zufallsgröße:
Im Durchschnitt kaufen sich täglich 6 Schülerinnen eine Breze
Verwende die Formel für den Erwartungswert von binomialverteilten Zufallsgrößen
Interpretiere den Wert. Denke dabei daran, was typische Signalwörter für den Erwartungswert sind.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallswerte von $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.
(4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgröße
Varianz und Standardabweichung
Da die Zufallsgröße binomialverteilt ist, verwendest du für die Varianz die Formel:
$V a r (X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 20 \cdot 0,3 \cdot 0,7 = 4,2$
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz:
$σ = \sqrt{V a r (X)} \approx 2,05$
$σ$ -Umgebung bestimmen
Der Zufallswert soll innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen. Addiere und Subtrahiere also $σ$ von $μ$ :
$μ - σ = 6 - 2,05 = 3,95$
$μ + σ = 6 + 2,05 = 8,05$
Zufallswert in $σ -$ Umgebung
Die Zufallsgröße $X$ soll größer als 3,95 und kleiner als 8,05 sein. Da $X$ nur ganzzahlig sein kann, ist $X \in {4; 5; 6; 7; 8}$
Du suchst also die Wahrscheinlichkeit von $P (4 \leq X \leq 8)$ . Das ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, die du zum Beispiel im Tafelwerk findest:
Da $P (X = 4)$ bereits mit einberechnet werdens soll, muss die Wahrscheinlickeit von 0 bis 3 wieder abgezogen werden.
↓
$P (4 \leq X \leq 8)$ $=$ $F (20; 0,3; 8) - F (20; 0,3; 3)$
$=$ $0,88667 - 0,10709$
$=$ $0,77958$
Bestimme die Varianz und die Standardabweichung der binomialverteilten Zufallsgröße
Bilde die $σ -$ Umgebung, indem du den Erwartungswert mit der Standardabweichung verrechnest.
Addiere alle Wahrscheinlichkeiten von Zufallswerten, die in dieser $σ -$ Umgebung liegen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:

$E_{3}$ : „Mehr als doppelt so viele Schülerinnen wie erwartet kaufen eine Breze.“

(3 BE)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Da $P (X = 4)$ bereits mit einberechnet werdens soll, muss die Wahrscheinlickeit von 0 bis 3 wieder abgezogen werden.
	↓
$P (4 \leq X \leq 8)$	$=$	$F (20; 0,3; 8) - F (20; 0,3; 3)$
	$=$	$0,88667 - 0,10709$
	$=$	$0,77958$

Du kannst im Tafelwerk nur "höchstens k Treffer" nachschauen
	↓
$P (X \geq 12)$	$=$
	↓	Verwende das Gegenereignis "weniger als 12"
	$=$	$1 - P (X < 12)$
	↓	weniger als 12 bedeutet höchstens 11
	$=$	$1 - P (X \leq 11)$
	↓	Diese Wahrscheinlichkeit kannst du zum Beispiel im Tafelwerk nachschlagen
	$=$	$1 - 0,99872$
	$=$	$0,00128$

Teil 2 Stochastik 2

Wahrscheinlichkeit von E1

Wahrscheinlichkeit von E2

Erwartungswert berechnen

Interpretation

Varianz und Standardabweichung

σ-Umgebung bestimmen

Zufallswert in σ−Umgebung

Wahrscheinlichkeit von $E_{1}$

Wahrscheinlichkeit von $E_{2}$

$σ$ -Umgebung bestimmen

Zufallswert in $σ -$ Umgebung