Teil 2 Analysis 2

Der Graph der Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ schneidet in einem kartesischen Koordinatensystem die $y$ -Achse beim Wert $y = 2$ und verläuft durch den Extrempunkt $E (2 | 1,2)$ . Außerdem ist bekannt, dass der Funktionsterm durch $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - 0,9 x + c$ mit $a, b, c \in I R$ und $a \neq 0$ dargestellt werden kann.

Bestimmen Sie im Funktionsterm von $f$ die Werte der Parameter $a, b$ und $c$ . (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgaben
Aufstellen der Bedingungsgleichungen
Die Funktion $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - 0,9 x + c$ hat die Ableitung:
$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x - 0,9$
Verwende das für die Bedingungsgleichungen:
"schneidet die y-Achse beim Wert $y = 2$ " bedeutet, dass $f (0) = 2$
"verläuft durch den Extrempunkt E(2|1,2)" bedeutet:
$f (2) = 1,2$
$f^{'} (2) = 0$
Übersetzen in ein Gleichungssystem
Daraus erhältst du die drei Gleichungen
$\begin{array}{l} I) 2 = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} - 0,9 \cdot 0 + c \\ I I) 1,2 = a \cdot 2^{3} + b \cdot 2^{2} - 0,9 \cdot 2 + c \\ I I I) 0 = 3 a \cdot 2^{2} + 2 b \cdot 2 - 0,9 \end{array}$
Aus Gleichung I) erhältst du direkt $I) 2 = c$
Setze c in die anderen beiden Gleichungen ein und vereinfache:
$I I) 1,2 = 8 a + 4 b - 1,8 + 2$
$I I I) 0 = 12 a + 4 b - 0,9$
Lösen des Gleichungssystem
Nach Verrechnung aller Konstanten hat das System die Form:
$\begin{array}{l} I) 1 = 8 a + 4 b \\ I I) 0,9 = 12 a + 4 b \end{array}$
Löse dieses System zum Beispiel mit dem Additions/Subtraktionsverfahren:
$\begin{array}{lrl} 1 = & 8 a + 4 b \\ - & 0,9 = & 12 a + 4 b \\ 0,1 = & - 4 a & | : (- 4) \\ - \frac{1}{40} = & a \end{array}$
Setze $a = - \frac{1}{40}$ in eine der Gleichungen ein, um b zu ermitteln:
$1$ $=$ $8 \cdot (- \frac{1}{40}) + 4 b$
$1$ $=$ $- \frac{1}{5} + 4 b$ $+ \frac{1}{5}$
$1,2$ $=$ $4 b$ $: 4$
$0,3$ $=$ $b$
Der Funktionsterm lautet also $f (x) = - \frac{1}{40} x^{3} + 0,3 x^{2} - 0,9 x + 2$
Du brauchst ein Gleichungssystem, mit dem du die Parameter a, b und c bestimmen kannst.
Da es drei Unbekannte sind, brauchst du drei Gleichungen.
Neben $f$ musst du auch in $f^{'}$ einsetzen.
Im Folgenden wird die Funktion $g$ mit $g (x) = f (x) = - 0,025 (x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 80)$ und der Definitionsmenge $D_{g} = [0; 7]$ betrachtet. Der Graph von $g$ in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.
Bestimmen Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller Extrempunkte von $G_{g}$ und geben Sie die Wertemenge $W_{g}$ von $g$ an. (9 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Lage der Randextrema
Da beide Ränder des Definitionsbereichs eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrempunkte, deren Lage du durch Einsetzen in g erhältst:
$g (0) = 2$
$g (7) = 1,825$
Die Art dieser Extremstellen erhältst du am einfachsten, wenn du, gemeinsam mit den normalen Extremstellen, eine Monotonietabelle anlegst.
Lage weitere Extremstellen
Bestimme die anderen Extremstellen mithilfe der 1. Ableitung:
$g^{'} (x) = - 0,025 (3 x^{2} - 24 x + 36)$
Du brauchst die Nullstellen der 1. Ableitung:
$g^{'} (x)$ $=$ $0$
$- 0,025 (3 x^{2} - 24 x + 36)$ $=$ $0$ $: (- 0,025)$
$3 x^{2} - 24 x + 36$ $=$ $0$
Bestimme die Nullstellen mit der Mitternachtsformel:
$x_{1 / 2} = \frac{- (- 24) \pm \sqrt{(- 24)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 36}}{2 \cdot 3}$
$x_{1} = 2$ und $x_{2} = 6$
Beide Nullstellen liegen im Definitionsbereich und es handelt sich bei beiden Nullstellen von $g^{'}$ um Extremstellen von $g$ , da es einfache Nullstellen von $g^{'}$ sind)
Ermittele die y-Koordinate dieser Extremstellen:
$g (2) = 1,2$
$g (6) = 2$
Art der Extremstellen
Fertige eine Monotonietabelle an, um die Art aller Extremstellen zu bestimmen.
x
0
<x<
2
<x<
6
<x<
7
VZ $g^{'}$
-
0
+
0
-
$G_{g}$
RHOP
$↘$
TIP
$↗$
HOP
$↘$
RTIP
Es gibt also die Extremstellen
$R H O P (0 | 2), T I P (2 | 1,2), H O P (6 | 2), R T I P (7 | 1,825)$
Wertemenge
Der kleinste und größte y-Wert der Extrempunkte legt die Wertemenge fest:
$W = [1,2; 2]$
Die Funktion g hat eine eingeschränkte Definitionsmenge!
Bestimme die Randextrema
Bestimme die "normalen" Extrempunkte
Vergiss nicht, auch die Art und y-Koordinate zu bestimmen
Betrachte alle y-Werte, um die Wertemenge aufzustellen
Zeichnen Sie den Graphen $G_{g}$ unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte für $0 \leq x \leq 7$ in ein Koordinatensystem.
Maßstab für die $x$ -Achse: $1 LE = 1 c m$ , für die $y$ -Achse: $1 LE = 2 c m$
(4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Beachte, dass auf der y-Achse bei 1 cm erst die 0,5 markiert wird.
Beim Eintragen der Funktionswerte musst du diese geänderte Skalierung ebenfalls beachten.
Zeichne nicht über die Definitionsmenge $D = [0; 7]$ hinaus!
Die y-Achse hat einen veränderten Maßstab
Fertige eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen. Halte dabei die Definitionsmenge ein!
Der Graph $G_{g}$ , die $x$ -Achse und die beiden Geraden mit den Gleichungen $x = 2$ und $x = 6$ schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bestimmtes Integral berechnen
Da das gesamte Flächenstück oberhalb der x-Achse liegt, kannst du den Flächeninhalt direkt mit dem bestimmten Integral berechnen:
$A = \int_{2}^{6} g (x) d x = [- 0,025 \cdot (\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{3} + 18 x^{2} - 80 x)]_{2}^{6} = 9,3 - 2,9 = 6,4$
Die Fläche ist also $6,4 F E$ groß
Bestimme den Wert des bestimmten Integrals

x	0	<x<	2	<x<	6	<x<	7
VZ $g^{'}$		-	0	+	0	-
$G_{g}$	RHOP	$↘$	TIP	$↗$	HOP	$↘$	RTIP

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$1$	$=$	$8 \cdot (- \frac{1}{40}) + 4 b$
$1$	$=$	$- \frac{1}{5} + 4 b$	$+ \frac{1}{5}$
$1,2$	$=$	$4 b$	$: 4$
$0,3$	$=$	$b$

$g^{'} (x)$	$=$	$0$
$- 0,025 (3 x^{2} - 24 x + 36)$	$=$	$0$	$: (- 0,025)$
$3 x^{2} - 24 x + 36$	$=$	$0$

Teil 2 Analysis 2

Aufstellen der Bedingungsgleichungen

Übersetzen in ein Gleichungssystem

Lösen des Gleichungssystem

Lage der Randextrema

Lage weitere Extremstellen

Art der Extremstellen

Wertemenge