Teil 1 Analysis

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_{h}$ einer Exponentialfunktion h mit der Definitionsmenge $D_{h} = ℝ$ . Der zugehörige Funktionsterm besitzt die Form $h (x) = e^{x + d} + y_{0}$ mit $d, y_{0} \in ℝ$ .

Bestimmen Sie mithilfe der obigen Abbildung nachvollziehbar die Werte der Parameter d und $y_{0}$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Asymptote $y_{0}$
Der Graph nähert sich auf der linken Seite der Asymptote $y_{0} = 1$ an.
Parameter d
Setze den Punkt $P (0,5 | 2)$ in $h (x) = e^{x + d} + 1$ ein.
$2$ $=$ $e^{0,5 + d} + 1$ $- 1$
$1$ $=$ $e^{0,5 + d}$
↓
Verwende den natürlichen Logarithmus ln
$\ln (1)$ $=$ $0,5 + d$
↓
Es gilt $l n (1) = 0$
$0$ $=$ $0,5 + d$ $- 0,5$
$- 0,5$ $=$ $d$
Der Parameter $y_{0}$ beschreibt die Verschiebung in y-Richtung und die Lage der Asymptote.
Den zusätzlich gegebenen Punkt kannst du einsetzen, um den Parameter d zu bestimmen.
Entscheiden Sie anhand des Graphen der Funktion h, ob die nachfolgende Aussage wahr oder falsch ist. Veranschaulichen Sie Ihre Überlegung dazu in der Abbildung unter 4.0
$\int_{- 1}^{1} (2 - h (x)) d x > 0$
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Verschiebung und Spiegelung von $G_{h}$
Skizziere den Graph der Funktion
$f (x) = 2 - h (x) = 2 - (e^{x - 0,5} + 1) = 1 - e^{x - 0,5}$
Er hat die gleiche Asymptote wie $G_{h}$ und wurde an $y_{0} = 1$ gespiegelt:
Betrachtung der Teilflächen
Zeichne die Teilflächen von $x = - 1$ bis $x = 1$ ein:
Da die linke Teilfläche, die oberhalb der x-Achse liegt, größer ist als die rechte, ist die Flächenbilanz positiv. Die Aussage $\int_{- 1}^{1} (2 - h (x)) d x > 0$ wahr.
Überlege dir zuerst, wie die Funktion $f (x) = 2 - h (x)$ aussieht.
Markiere anschließend die Teilflächen und untersuche, welche größer ist.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$2$	$=$	$e^{0,5 + d} + 1$	$- 1$
$1$	$=$	$e^{0,5 + d}$
	↓	Verwende den natürlichen Logarithmus ln
$\ln (1)$	$=$	$0,5 + d$
	↓	Es gilt $l n (1) = 0$
$0$	$=$	$0,5 + d$	$- 0,5$
$- 0,5$	$=$	$d$

Teil 1 Analysis

Asymptote y0

Parameter d

Verschiebung und Spiegelung von Gh

Betrachtung der Teilflächen

Asymptote $y_{0}$

Verschiebung und Spiegelung von $G_{h}$