Prüfungsaufgaben Mathematik 2023

Konservendose (12 Punkte)

Eine zylinderförmige Konservendose hat folgende Maße:

Radius: $4 c m$

Höhe: $8 c m$

Skizzieren Sie die Mantelfläche der Konservendose.
Bestimmen Sie die Länge $a$ und Breite $b$ der Mantelfläche und beschriften Sie Ihre Skizze entsprechend. (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Skizzierung der Mantelfläche
Länge der Mantelfläche
Die Länge $a$ der Mantelfläche entspricht dem Umfang des Bodens der Konservendose.
Zur Berechnung von $a$ verwenden wir die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs.
$a$ $=$ $2 π r$
↓
Einsetzen des Radius r
$a$ $=$ $2 π \cdot 4$
$a$ $\approx$ $25 cm$
Höhe der Mantelfläche
Die Höhe der Mantelfläche $b$ entspricht der Höhe des Zylinders:
$b = 8$
Skizziere die Mantelfläche durch "Abrollen" des Zylinders.
Berechne die Länge mit Hilfe der Formel für den Kreisumfang.
Laut Hersteller hat die Konservendose ein Volumen von ca. $400 ml$ .
Weisen Sie nach, dass diese Angabe richtig ist.
Hinweis: $1 {c m}^{3}$ entspricht $1 ml$ . (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Volumenberechnung
$V_{Z y l i n d e r}$ $=$ $r^{2} π h$
↓
gegebene Werte einsetzen
$=$ $4^{2} \cdot π \cdot 8$
$\approx$ $402,12$
Die Konservendose hat einen Inhalt von $402,12 {c m}^{3}$
Vergleich mit der Angabe des Herstellers
$402,12 {c m}^{3} \approx 400 m l$
Die Angabe des Herstellers ist korrekt.
Berechne das Volumen der Konservendose mit den in der Aufgabe angegebenen Daten.
Benutze dazu die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders.
Vergleiche mit der Angabe des Herstellers.
$*$ Die Deckel der Konservendosen $(r = 4 c m)$ werden aus rechteckigen Blechstreifen hergestellt. Diese Blechstreifen sind $8 c m$ breit und $1 m$ lang. Aus einem Blechstreifen sollen so viele Deckel wie möglich hergestellt werden.
Der Materialverlust (Abfall) eines Blechstreifens bei der Produktion der Deckel soll nicht mehr als $25 %$ betragen.
Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Vorgabe des Materialverlustes erfüllt ist. (4P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Anzahl der Deckel pro Blechstreifen
Die Deckel haben einen Durchmesser von $8$ cm.
$100 : 8 = 12,5$
Aus einem Blechstreifen können $12$ Deckel hergestellt werden.
Fläche des Blechstreifens
$8 \cdot 100 = 800 cm^{2}$
Fläche aller Deckel
$12 \cdot π \cdot 4^{2} = 603,19 cm^{2}$
Prozentualer Anteil des Abfalls
$Materialverlust$ $=$ $\frac{Fläche Blechstreifen - Fläche Deckel}{Fläche Blechstreifen} \cdot 100$
$=$ $\frac{800 - 603,19}{800} \cdot 100$
$=$ $24,6 %$
Vergleich des Materialverlusts mit der Vorgabe
$24,6 % < 25 %$
Die Vorgabe des Materialverlusts ist erfüllt.
Bestimme, wie viele Deckel aus einem Blechstreifen hergestellt werden können.
Berechne die Fläche des rechteckigen Blechstreifens.
Berechne die Fläche aller Deckel.
Ziehe die Fläche aller Deckel von der Fläche des Blechstreifens ab und berechne den Anteil des Materialverlusts.
$*$ Die hergestellten Deckel $(r = 4 c m)$ sollen auch für größere Konservendosen mit einem Volumen von 1 Liter verwendet werden.
Ermitteln Sie die Höhe der großen Konservendose. (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Höhe der Konservendose
$V_{Z y l i n d e r}$ $=$ $r^{2} π h$
↓
Einsetzen der bekannten Werte
$1000$ $=$ $4^{2} \cdot π \cdot h$ $\cdot \frac{1}{4^{2} \cdot π}$
↓
nach $h$ auflösen
$\frac{1000}{4^{2} \cdot π}$ $=$ $h$
$20$ $\approx$ $h$
Die Höhe der großen Konservendose muss etwa 20 cm betragen.
Berechne die erforderliche Höhe der Konservendose anhand der Formel für das Volumen eines Zylinders.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburg zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$a$	$=$	$2 π r$
	↓	Einsetzen des Radius r
$a$	$=$	$2 π \cdot 4$
$a$	$\approx$	$25 cm$

$V_{Z y l i n d e r}$	$=$	$r^{2} π h$
	↓	gegebene Werte einsetzen
	$=$	$4^{2} \cdot π \cdot 8$
	$\approx$	$402,12$

$Materialverlust$	$=$	$\frac{Fläche Blechstreifen - Fläche Deckel}{Fläche Blechstreifen} \cdot 100$
	$=$	$\frac{800 - 603,19}{800} \cdot 100$
	$=$	$24,6 %$

$V_{Z y l i n d e r}$	$=$	$r^{2} π h$
	↓	Einsetzen der bekannten Werte
$1000$	$=$	$4^{2} \cdot π \cdot h$	$\cdot \frac{1}{4^{2} \cdot π}$
	↓	nach $h$ auflösen
$\frac{1000}{4^{2} \cdot π}$	$=$	$h$
$20$	$\approx$	$h$

Prüfungsaufgaben Mathematik 2023

Konservendose (12 Punkte)

Volumenberechnung

Vergleich mit der Angabe des Herstellers

Anzahl der Deckel pro Blechstreifen

Vergleich des Materialverlusts mit der Vorgabe

Höhe der Konservendose