Prüfungsteil 2 2023

Aufgabe 2: Varroa-Milbe

Die Varroa-Milbe ist ein Schädling, der in jedem Bienenvolk lebt. Die Schülerinnen und Schüler der Bienen-AG untersuchen die Milbe mit einem Mikroskop.

Abbildung 1: Varroa-Milbe (vergrößert) Quelle: https://www.mikroskopieforum.de/index.php?topic=16864.0 (verändert)

Berechne die Länge und Breite der Milbe durch Messen der Pfeillängen und Anwenden des Maßstabs (Abbildung 1). (3 P)
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Pfeillängen
Miss die Pfeillängen, die die Länge und Breite der Milbe in der Zeichnung markieren:
Länge (Zeichnung): $63 mm$
Breite (Zeichnung): $48 mm$
Maßstab
Bestimme den Maßstab, in dem du misst, wie viel mm die angegebenen 0,5 mm in der Zeichnung entsprechen.
$0,5 mm (in echt) \hat{=} 15 mm (in der Zeichnung)$
Umrechnung
Rechne die Pfeillängen mithilfe des Maßstabs um.
Länge (Zeichnung): $63 mm : 15 \cdot 0,5 \hat{=} 2,1 mm$ (in echt)
Breite (Zeichnung): $48 mm : 15 \cdot 0,5 \hat{=} 1,6 mm$ (in echt)
$\to$ Die Milbe hat eine Länge von $2,1 mm$ und eine Breite von $1,6 mm$ .
Bestimme die Pfeillängen, die die Länge und die Breite der Milbe in der Zeichnung markieren.
Bestimme den Maßstab: Wieviel mm entsprechen die angegebenen $0,5$ mm in der Zeichnung?
(Für diese beiden Schritte kannst du das GeoGebra Applet nutzen.)
Rechne die Pfeillängen mithilfe des Maßstabs um.
Im Frühjahr ermitteln sie die Anzahl der Milben im Bienenvolk.
Im Internet finden sie die Faustregel, dass sich die Anzahl der Milben alle vier Wochen etwa verdoppelt. Sie kalkulieren die voraussichtliche Anzahl der Milben für die kommenden vier und acht Wochen. Die Werte halten sie in einer Tabelle fest.
Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Tabelle vervollständigen
Die Anzahl der Milben verdoppelt sich alle 4 Wochen. Nach 4 Wochen ist die Anzahl der Milben das doppelte des Ausgangswertes, also: $308 \cdot 2 = 616 M i l b e n$
Die Anzahl Milben nach 8 Wochen ist doppelt so groß, wie die Anzahl nach 4 Wochen. Der Wert nach 8 Wochen ist somit: $616 \cdot 2 = 1232 M i l b e n$
Trage die Werte in die Tabelle ein.
Wert 1
Wert 2
Wert 3
Zeit in Wochen
0
4
8
Anzahl der Milben
308
616
1232
Berechne zunächst die Anzahl Milben nach 4 Wochen.
Nutze die Anzahl Milben nach 4 Wochen, um die Anzahl nach 8 Wochen zu berechnen.
Um die Entwicklung der Milben pro Woche vorauszusagen, beschreiben sie die Anzahl der Milben mit der folgenden Exponentialfunktion $f$ :
$f (x) = 308 \cdot {1,19}^{x} x ist die Zeit in Wochen, x = 0 ist der Beobachtungsbeginn$
Gib die Bedeutung der Werte 308 und 1,19 im Zusammenhang an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Bedeutung im Sachzusammenhang
Den Wert $308$ nimmt die Funktion zum Zeitpunkt $x = 0$ an, er ist also der Anfangswert.
Der Wert $1,19$ ist der Wachstumsfaktor. Er ist der Faktor, um den sich die Zahl der Milben innerhalb einer Woche vermehrt.
Untersuche den Funktionsterm:
Der Faktor $308$ hat eine Bedeutung für den Beobachtungsbeginn $x = 0$ .
Die Basis $1,19$ haben mit der Entwicklung zu tun.
Bestätige mithilfe der Funktionsgleichung, dass nach 12 Wochen ca. 2500 Milben vorhanden sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Anzahl der Milben nach 12 Wochen
Da in der Funktionsgleichung das x für die Anzahl an Wochen steht, musst du für das x die 12 einsetzen und erhältst:
$f (12) = 308 \cdot {1,19}^{12} \approx 2484 Milben$
Nach 12 Wochen sind somit etwa 2482 Milben vorhanden, also fast 2500.
Setze die gegebene Wochenzahl in die Funktionsgleichung ein.
Vergleiche dein Ergebnis mit dem gegebenen Wert.
Bei einer Anzahl von ca. 10000 Milben würde das Bienenvolk so großen Schaden nehmen, dass es nicht überleben kann.
Bestimme, nach wie vielen Wochen die Anzahl von 10000 Milben überschritten wird. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmieren
Mithilfe der Funktionsgleichung aus Teilaufgabe c kannst du die Anzahl der Wochen bestimmen.
$f (x)$ $=$ $308 \cdot {1,19}^{x}$
↓
Setze die Anzahl der Milben (10000) für den Funktionswert ein.
$10000$ $=$ $308 \cdot {1,19}^{x}$ $: 308$
$\frac{10000}{308}$ $=$ ${1,19}^{x}$
↓
Logarithmieren
$x$ $=$ $\log_{1,19} (\frac{10000}{308})$
$x$ $\approx$ $20,00675$
Da der Wert nach etwas mehr als $20$ Wochen überschritten wird und wöchentlich gemessen wird, wird das Überschreiten nach $21$ Wochen festgestellt.
Nutze die Funktionsgleichung aus Teilaufgabe c.
Berechne den $x$ -Wert für den Funktionswert 10000.
Damit das Bienenvolk überlebt, wird nach 12 Wochen Ameisensäure eingesetzt. Dadurch wird die Anzahl von ca. 2500 Milben einmalig um $90 %$ reduziert.
Weise nach, dass durch die Behandlung mit der Ameisensäure die Anzahl von 10000 Milben 21 Wochen nach Beobachtungsbeginn nicht überschritten wird. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Anzahl der Milben nach der Behandlung mit Ameisensäure
Berechne zunächst die Anzahl Milben, die nach der Behandlung mit Ameisensäure übrig sind. Da die Anzahl um $90 %$ reduziert wird bleiben $10 %$ Milben übrig. Berechne die Anzahl Milben mit dem Dreisatz.
$2500 M i l b e n$ $≙$ $100 %$
$25 M i l b e n$ $≙$ $1 %$
$250 M i l b e n$ $≙$ $10 %$
Nach der Behandlung mit Ameisensäure bleiben $250$ Milben übrig.
Aufstellen der Funktionsgleichung
Die 250 Milben sind nun der neue Ausgangswert. Stelle mithilfe von diesem Ausgangswert die neue Funktionsgleichung auf. Als Wachstumsfaktor kannst du die $1,19$ aus Teilaufgabe c übernehmen. Die neue Funktionsgleichung lautet nun:
$g (x) = 250 \cdot {1,19}^{x}$
Berechnen der Milbenanzahl
Berechne den Wert nach $21$ Wochen. Da $12$ Wochen bereits vergangen sind bleiben $21 - 12 = 9$ Wochen der Beobachtung übrig. Setze diesen Wert in die neue Funktionsgleichung ein.
$g (9) = 250 \cdot {1,19}^{9} \approx 1196$
$1196 < 10000$
Nach $21$ Wochen sind es $1196$ Milben und damit deutlich weniger als $10000$ .
Berechne die Milbenanzahl nach der Behandlung mit Ameisensäure.
Stelle mit dem berechneten Wert eine neue Funktionsgleichung auf.
Berechne die Milbenanzahl nach 21 Wochen.

	Wert 1	Wert 2	Wert 3
Zeit in Wochen	0	4	8
Anzahl der Milben	308	616	1232

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

$f (x)$	$=$	$308 \cdot {1,19}^{x}$
	↓	Setze die Anzahl der Milben (10000) für den Funktionswert ein.
$10000$	$=$	$308 \cdot {1,19}^{x}$	$: 308$
$\frac{10000}{308}$	$=$	${1,19}^{x}$
	↓	Logarithmieren
$x$	$=$	$\log_{1,19} (\frac{10000}{308})$
$x$	$\approx$	$20,00675$

$2500 M i l b e n$	$≙$	$100 %$
$25 M i l b e n$	$≙$	$1 %$
$250 M i l b e n$	$≙$	$10 %$

Prüfungsteil 2 2023

Aufgabe 2: Varroa-Milbe

Pfeillängen

Maßstab

Umrechnung

Tabelle vervollständigen

Bedeutung im Sachzusammenhang

Anzahl der Milben nach 12 Wochen

Anzahl der Milben nach der Behandlung mit Ameisensäure

Aufstellen der Funktionsgleichung

Berechnen der Milbenanzahl