Aufgaben zu Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ganzen Gläser unter den 4 gezogenen Gläsern, $X$ kann also den Wert $\mathrm{0,1,2,3}$ und $4$ annehmen. Die Gläser werden nicht unterschieden. Ein Glas ist mit der Wahrscheinlichkeit $p=\mathrm{0,85}$ ganz. Die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ berechnet sich mit der Formel: $p^k(1-p{)}^{4-k}$.

Diese Zahl muss noch mit der Anzahl der Möglichkeiten multipliziert werden. Z. B. kann ein defektes Glas als 1. Glas, als 2. Glas, als 3. Glas oder als 4. Glas gezogen werden, es gibt also hier 4 Möglichkeiten.

Allgemein könnte man die Anzahl der Möglichkeiten $k$ kaputte Gläser aus $n$ gezogenen Gläsern mit dem Binomialkoeffizient $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$ berechnen.

$P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{4}\right)\cdot {\mathrm{0,85}}^4\cdot {\mathrm{0,15}}^0=1\cdot {\mathrm{0,85}}^4\cdot {\mathrm{0,15}}^0\approx \mathrm{0,5220}$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{3}\right)\cdot {\mathrm{0,85}}^3\cdot {\mathrm{0,15}}^1=4\cdot {\mathrm{0,85}}^3\cdot {\mathrm{0,15}}^1\approx \mathrm{0,3685}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{2}\right)\cdot {\mathrm{0,85}}^2\cdot {\mathrm{0,15}}^2=6\cdot {\mathrm{0,85}}^2\cdot {\mathrm{0,15}}^2\approx \mathrm{0,0975}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{1}\right)\cdot {\mathrm{0,85}}^1\cdot {\mathrm{0,15}}^3=4\cdot {\mathrm{0,85}}^1\cdot {\mathrm{0,15}}^3\approx \mathrm{0,0115}$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{0}\right)\cdot {\mathrm{0,85}}^0\cdot {\mathrm{0,15}}^4=1\cdot {\mathrm{0,85}}^0\cdot {\mathrm{0,15}}^4\approx \mathrm{0,0005}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable $X$ sieht also so aus: