Aufgaben zum Erwartungswert

Auf einem Jahrmarkt gibt es einen Stand mit Losen. In einer Lostrommel befinden sich 10 Lose, unter denen 6 Gewinnlose und 4 Nieten sind. Berechne für 5-maliges Ziehen eines Loses, wobei die Lose nicht zurückgelegt werden, den Erwartungswert für

die Zufallsgröße $X$ : "Anzahl der Gewinnlose"
die Zufallsgröße $Y$ : "Anzahl der Nieten"

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert bestimmen

Teilaufgabe 1

$X$ : Anzahl der Gewinnlose unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E (X)$

Für den Erwartungswert einer (diskreten) Zufallgröße gibt es eine Formel, bei der

alle vorkommenden Werte von $X$ jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden,
und dann alle diese Produkte addiert werden.

Das heißt: Du brauchst jetzt als erstes die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ .

Überlege dir dazu zunächst das richtige Modell für diese Aufgabe, d. h.:

mit oder ohne Zurücklegen?
mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge?

Urnenmodell für diese Aufgabe:

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 6 Kugeln schwarz sind (bzw. 6 Lose Gewinnlose sind).

Wenn du jetzt das richtige Modell gefunden hast, kannst du die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen:

Für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln" gilt die Formel der hypergeometrischen Verteilung:

P (X = k) = \frac{(\begin{array}{c} S \\ k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} N - S \\ n - k \end{array})}{(\begin{array}{c} N \\ n \end{array})}

für die Wahrscheinlichkeit, genau k schwarze Kugeln zu erhalten.

Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten

$P (X = 0) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 0 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{1 \cdot 0}{252} = 0$

$P (X = 1) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{6 \cdot 1}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42}$

$P (X = 2) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 2 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{15 \cdot 4}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$

$P (X = 3) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 3 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{20 \cdot 6}{252} = \frac{120}{252} = \frac{10}{21}$

$P (X = 4) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 4 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{15 \cdot 4}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$

$P (X = 5) = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 - 5 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{6 \cdot 1}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42}$

Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

k	0	1	2	3	4	5
P(X=k)	0	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$

Der Erwartungswert ist also: $E (X) = 0 + 1 \cdot \frac{6}{252} + 2 \cdot \frac{60}{252} + 3 \cdot \frac{120}{252} + 4 \cdot \frac{60}{252} + 5 \cdot \frac{6}{252} = \frac{756}{252} = 3$

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 3 Gewinnlose unter den 5 Losen zieht.

Teilaufgabe 2

$Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E (Y)$

Möglichkeit 1:

Wenn du Teilaufgabe 1 bereits gelöst hast, kannst du den Erwartungswert $E (Y)$ sehr schnell so bestimmen:

$E (Y) = ?$

Da $X$ die Anzahl der Gewinnlose und $Y$ die Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen ist, muss $X + Y$ stets gleich 5 sein.

Entsprechend gilt das auch für die Erwartungswerte.

$E (X) + E (Y) = 5$

Diese Gleichung kannst du nun ganz einfach nach $E (Y)$ umstellen,

$E (Y) = 5 - E (X)$

und dann $E (X) = 3$ einsetzen.

$E (Y) = 5 - 3 = 2$

Möglichkeit 2:

Zur Kontrolle - oder wenn du Teilaufgabe 1 nicht verwenden willst - kannst du das Ergebnis auch noch einmal unabhängig vom Ergebnis von Teilaufgabe 1 ausrechnen. Das geht nach der gleichen Methode wie die Rechnung bei Teilaufgabe 1:

$Y$ : Anzahl der Nieten unter den 5 gezogenen Losen.

Gesucht: Erwartungswert $E (Y)$

Damit hast du festgelegt, was $Y$ ist,

und brauchst für die Berechnung des Erwartungswertes von $Y$ jetzt wiederum die Formel für den Erwartungswert

$E (Z) = \sum_{i = 1}^{n} z_{i} \cdot P (Z = z_{i})$

und dazu die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ .

Überlege dir dazu wieder das geeignete Modell.

Urnenmodell für diese Aufgabe:

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge
aus einer Urne mit insgesamt 10 Kugeln (bzw. Losen), von denen 4 Kugeln schwarz sind (bzw. 4 Lose Nieten sind).

Das ist ganz entsprechend wie bei Teilaufgabe 1.

Verwende nun wieder (genauso wie bei Teilaufgabe 1), dass für das Modell "Ziehen von n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge aus einer Urne mit S schwarzen und N-S weißen Kugeln"

die Formel der hypergeometrischen Verteilung gilt:

P (X = k) = \frac{(\begin{array}{c} S \\ k \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} N - S \\ n - k \end{array})}{(\begin{array}{c} N \\ n \end{array})}

Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

$P (Y = 0) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 0 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{1 \cdot 6}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42}$

$P (Y = 1) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{4 \cdot 15}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$

$P (Y = 2) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 2 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{6 \cdot 20}{252} = \frac{120}{252} = \frac{10}{21}$

$P (Y = 3) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 3 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{4 \cdot 15}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$

$P (Y = 4) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 4 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{1 \cdot 6}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42}$

$P (Y = 5) = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 5 - 5 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array})}{(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array})} = \frac{0 \cdot 1}{252} = 0$

Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

k	0	1	2	3	4	5
P(Y=k)	$\frac{6}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{120}{252}$	$\frac{60}{252}$	$\frac{6}{252}$	0

Der Erwartungswert ist also: $E (Y) = 0 + 1 \cdot \frac{60}{252} + 2 \cdot \frac{120}{252} + 3 \cdot \frac{60}{252} + 4 \cdot \frac{6}{252} + 5 \cdot 0 = 2$

Erwartet wird also, dass man auf lange Sicht im Durchschnitt 2 Nieten unter den 5 Losen erhält.

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