Aufgaben zu den Extrempunkten

Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=2x\\ f^{\prime \prime }(x)=2\end{array}$

Damit ein lokales Extremum vorliegt, muss die erste Ableitung Null sein.

$\begin{array}{l}0=2x\\ x_E=0\end{array}$

Damit haben wir einen Kandidaten. Wenn nun noch die zweite Ableitung ungleich Null ist, haben wir ein Extremum gefunden. Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist kann es immer noch ein Extremum sein. Wir benötigen dann das Vorzeichenwechselkriterium.

$f^{\prime \prime }(0)=2>0$

Die zweite Ableitung ist größer Null, es muss also ein Minimum vorliegen.

Für das Minimum benötigen wir noch den y-Wert. Dazu setzen wir den gefundenen x-Wert in die Funktionsgleichung ein:

$f(0)=0^2+3=3$

Bei $\text{Min}(0|3)$ liegt ein lokales Minimum vor.

Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=4x^3\\ f^{\prime \prime }(x)=12x^2\end{array}$

Damit ein lokales Extremum vorliegt, muss die erste Ableitung Null sein.

$\begin{array}{l}0=4x^3\\ x_E=0\end{array}$

Damit haben wir einen Kandidaten. Wenn nun noch die zweite Ableitung ungleich Null ist, haben wir ein Extremum gefunden. Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist kann es immer noch ein Extremum sein. Wir benötigen dann das Vorzeichenwechselkriterium.

$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0$

Die zweite Ableitung ist gleich Null. Wir müssen mit dem Vorzeichenwechselkriterium weiter arbeiten. Dazu betrachten wir die erste Ableitung von f. Sie ist eine Funktion dritten Grades, welche bei Null das Vorzeichen vom Negativen zum Positiven wechselt. Die Funktion f geht also vom Fallen ins Steigen über. Es liegt also ein Minimum vor.

Für das Minimum benötigen wir noch den y-Wert. Dazu setzen wir den gefundenen x-Wert in die Funktionsgleichung ein:

$f(0)=0^2-2=-2$

Bei $\text{Min}(0|-2)$ liegt ein lokales Minimum vor.

Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=3x^2-2x-1\\ f^{\prime \prime }(x)=6x-2\end{array}$

Damit ein lokales Extremum vorliegt, muss die erste Ableitung Null sein.

$\begin{array}{l}0=3x^2-2x-1\\ x_1=1\\ x_2=-\frac{1}{3}\end{array}$

Damit haben wir zwei Kandidaten. Wenn nun noch die zweite Ableitung ungleich Null ist, haben wir ein Extremum gefunden. Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist kann es immer noch ein Extremum sein. Wir benötigen dann das Vorzeichenwechselkriterium.

Für $x_1=1$ :

$f^{\prime \prime }(1)=6\cdot 1-2=4>0$

Die zweite Ableitung ist größer Null, es muss also ein Minimum vorliegen.

Für das Minimum benötigen wir noch den y-Wert. Dazu setzen wir den gefundenen x-Wert in die Funktionsgleichung ein:

$f(1)=1^3-1^2-1-1=-2$

Bei $\text{Min}(1|-2)$ liegt ein lokales Minimum vor.

Für $x_2=-\frac{1}{3}$ :

$f^{\prime \prime }(-\frac{1}{3})=6\cdot (-\frac{1}{3})-2=-4<0$

Die zweite Ableitung ist kleiner Null, es muss also ein Maximum vorliegen.

Für das Maximum benötigen wir noch den y-Wert. Dazu setzen wir den gefundenen x-Wert in die Funktionsgleichung ein:

$f(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3}{)}^3-(-\frac{1}{3}{)}^2-(-\frac{1}{3})-1=-\frac{22}{27}$

Bei $\text{Max}(-\frac{1}{3}|-\frac{22}{27})$ liegt ein lokales Maximum vor.

Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=e^x-3\\ f^{\prime \prime }(x)=e^x\end{array}$

Damit ein lokales Extremum vorliegt, muss die erste Ableitung Null sein.

$\begin{array}{l}0=e^x-3\\ x_E=\ln (3)\approx 1.0986\end{array}$

Damit haben wir einen Kandidaten. Wenn nun noch die zweite Ableitung ungleich Null ist, haben wir ein Extremum gefunden. Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist kann es immer noch ein Extremum sein. Wir benötigen dann das Vorzeichenwechselkriterium.

$f^{\prime \prime }(\ln (3))=e^{\ln (3)}=3>0$ Die zweite Ableitung ist größer Null, es muss also ein Minimum vorliegen.

Für das Minimum benötigen wir noch den y-Wert. Dazu setzen wir den gefundenen x-Wert in die Funktionsgleichung ein:

$f(\ln (3))=e^{\ln (3)}-3\cdot \ln (3)=3-3\cdot \ln (3)\approx -0.2958$

Bei $\text{Min}(1.0986|-0.29583)$ liegt ein lokales Minimum vor.

Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen:

$\begin{array}{l}\text{}{f}^{\prime }(x)=24x^2\\ f^{\prime \prime }(x)=48x\text{}\text{}\end{array}$

Damit ein lokales Extremum vorliegt, muss die erste Ableitung Null sein.

$\begin{array}{l}\text{}0=24x^2\\ x_E\text{}=0\text{}\text{}\end{array}$

Damit haben wir einen Kandidaten. Wenn nun noch die zweite Ableitung ungleich Null ist, haben wir ein Extremum gefunden. Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist kann es immer noch ein Extremum sein. Wir benötigen dann das Vorzeichenwechselkriterium.

$\text{}{f}^{\prime \prime }(0)=48\cdot 0=0$

Die zweite Ableitung ist gleich Null. Wir müssen mit dem Vorzeichenwechselkriterium weiter arbeiten. Dazu betrachten wir die erste Ableitung von $f$. Sie ist eine Funktion zweiten Grades, welche bei Null ein lokales Minimum hat. Sie wechselt das Vorzeichen nicht. Es liegt kein lokales Extremum vor.

Die Funktion $f$ ist also links von $x=0$ monoton steigend, bei $x=0$ waagerecht und rechts von $x=0$ wieder monoton steigend. Es liegt ein Terrassenpunkt (auch Sattelpunkt oder Horizontalwendepunkt) vor.