Wahlteil - GTR

Aufgabe 2B

Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben $59 %$ Datenschutzbedenken. Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen $23 %$ ein Fitnessarmband. $19 %$ aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Vierfeldertafel
Knoten des Baumdiagramms
Die Merkmale in diesem Zufallsexperiment sind:
$D$ : Hat Datenschutzbedenken
$\overline{D}$ : Hat keine Datenschutzbedenken
$F$ : Hat ein Fitnessarmband
$\overline{F}$ : Hat kein Fitnessarmband
Jedes Ereignis musst du auf eine Stufe eingezeichnen. Dadurch ergibt sich ein 2-stufiges Baumdiagramm.
Der Satz "Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen $23 %$ ein Fitnessarmband." verrät uns, dass auf der ersten Stufe die Datenschutzbedenken stehen müssen.
Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms
vollständiges Baumdiagramm
Die schwarzen Wahrscheinlichkeiten wurden aus der Aufgabenstellung übernommen
Die blauen Wahrscheinlichkeiten müssen berechnet werden
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, ist 100%
Die 1. Pfadregel kann genutzt werden, um beim 3. Pfad die fehlende Wahrscheinlichkeit zu bestimmen
VorgehenWahrscheinlichkeit unten rechts im Baumdiagramm
$19 %$ aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.
Diese Wahrscheinlichkeit kann nicht direkt in das Innere des Baumdiagramms übernommen werden.
Man berechnet:
$\underset{Hat keine Datenschutzbedenken}{\underset{⏟}{0,41}} \cdot \underset{Hat ein Fitnessarmband}{\underset{⏟}{x}} = 0,19$
$\Rightarrow x \approx 46,34 %$
Bestimme die zwei Merkmale, die hier untersucht werden.
Skizziere für jedes Merkmal eine Stufe und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
Achte dabei auf die Reihenfolge: Gibt es bei einer Wahrscheinlichkeit eine Vorbedingung, sollte das Merkmal auf die zweite Stufe
Bestimme mit den Pfadregeln die übrigen Wahrscheinlichkeiten.
Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Datenschutzbedenken hat.
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Da die Aufgabenstellung in zwei Sätzen formuliert ist, handelt es sich um die bedingte Wahrschienlichkeit $P_{F} (D)$ .
Person benutzt ein Fitnessarmband
Im Baumdiagramm können die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade entnommen werden, in dem das Ereignis $F$ (steht für "Person hat Fitnessarmband") zutrifft. Es werden die Pfadregeln verwendet.
$P (F) = 0,59 \cdot 0,23 + 0,41 \cdot 0,4634 \approx 0,3257$
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass $D$ eintrifft (Datenschutzbedenken) unter der Bedingung $F$ (Fitnessarmband), ist:
$P_{F} (D)$ $=$ $\frac{P (D \cap F)}{P (F)}$
↓
$P (F)$ von oben
$=$ $\frac{P (D \cap F)}{0,3257}$
↓
Baumdiagramm
$=$ $\frac{0,59 \cdot 0,23}{0,3257}$
$\approx$ $0,4166$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa $41,66 %$ .
Bestimme mit den Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Fitnessarmband benutzt
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$
Es gilt $0,23 \neq 0,59 \cdot 0,23 + 0,19$ .
Begründen Sie damit, dass die Ereignisse „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person hat Datenschutzbedenken.“ und „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband." stochastisch abhängig sind. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen
Bedeutung der Terme
Die linke Seite beschreibt gerade die Wahrscheinlichkeit (siehe Baumdiagramm):
$P_{D} (F)$
Die rechte Seite entspricht der Wahrscheinlichkeit (siehe (b)):
$P (F)$
Wenn die Terme ungleich sind, gilt entsprechend: $P_{D} (F) \neq P (F)$ .
Das heißt, dass der Ausgang von $F$ von der Bedingung $D$ abhängt. Sie sind stochastisch abhängige Ereignisse.
Untersuche die Terme und deren Bedeutung im Sachzusammenhang. Welche Ereignisse stellen sie dar?
Das Kriterium für stochastische Unabhängigkeit für Ereignisse $A$ und $B$ ist:
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ oder äquivalent $P (A | B) = P (A)$
100 Kunden des Unternehmens werden zufällig ausgewählt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $50 %$ der ausgewählten Kunden Datenschutzbedenken haben. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Das Zufallsexperiment
Laut Baumdiagramm haben $59 %$ aller Personen Datenschutzbedenken. Damit ist $p = 0,59$ der Parameter des Zufallsexperiments.
Wir gehen davon aus, dass diese Wahrscheinlichkeit für das Auswählen jeder einzelnen Person gilt, womit die Anzahl der Kunden mit Datenschutzbedenken $X$ binomialverteilt wäre.
$n = 100$ ist die Länge unserer Bernoulli-Kette. Mehr als $50 %$ der Kunden soll Datenschutzbedenken haben, also $k > 50$ .
Wahrscheinlichkeit $P (X > 50)$
Für die Binomialverteilung mit Parametern $n = 100, p = 0,59$ gilt:
Verwenden des Gegenereignis
↓
$P (X > 50)$ $=$ $1 - P (X \leq 50)$
↓
Verwenden der Verteilungsfunktion
$=$ $1 - F_{100; 0,59} (50)$
↓
Taschenrechner
$=$ $1 - 0,0427...$
$\approx$ $95,72 %$
Die Zufallsvariable $X$ , welche die Kunden mit Datenschutzbedenken zählt, ist binomialverteilt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P (X > 50)$ mit der Binomialverteilung.
Setzt man für $a$ und $b$ geeignete Werte ein, so kann mit dem Term
$1 - \sum_{k = 51}^{100} (\binom{100}{k}) \cdot {0,59}^{k} \cdot a^{b}$
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden.
Geben Sie diese Werte für $a$ und $b$ an.
Beschreiben Sie das zugehörige Ereignis. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Beschreibung des Ereignisses
Aus Teilaufgabe (d) oder aus dem Baumdiagramm ist das Ereignis: "Kunde hat Datenschutzbedenken" ( $D$ ) bekannt. Für dieses Ereignis gilt: $P (D) = 0,59$
Die Summe von $k = 51$ bis $k = 100$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $51$ Kunden Datenschutzbedenken haben. $P (X \geq 51)$
Das Subtrahieren der Summe von $1$ weist darauf hin, dass hier ein Gegenereignis berechnet wird: $\underset{Gegenereignis}{\underset{⏟}{1 -}} \underset{P (X \geq 51)}{\underset{⏟}{\sum_{k = 51}^{100} (\binom{100}{k}) \cdot {0,59}^{k} \cdot a^{b}}}$
Insgesamt ist also $P (X \leq 50)$ gesucht - die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Höchstens 50 der Kunden haben Datenschutzbedenken".

Werte für $a$ und $b$
a ist die Gegenwahrscheinlichkeit von 0,59. Es gilt: $a + 0,59 = 1 \Leftrightarrow a = 0,41$
$k$ und $b$ ergeben zusammen $100$ : $b = 100 - k$
Eingesetzt wäre der Term: $1 - \sum_{k = 51}^{100} (\binom{100}{k}) \cdot {0,59}^{k} \cdot {0,41}^{100 - k}$
Bestimme ein Ereignis, welches die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,59$ hat.
Verwende hierzu Teilaufgabe (d).
$a$ und $0,59$ müssen zusammenaddiert $1$ ergeben.
$b$ und $k$ müssen zusammen $100$ ergeben.
Untersuchen Sie, ob es eine natürliche Zahl $n$ gibt, für die die folgende Aussage richtig ist:
Werden $2 n$ Kunden des Unternehmens zufällig ausgewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen niemand Datenschutzbedenken hat, halb so groß wie bei $n$ Kunden.
(3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Terme der Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit von "Niemand der $2 n$ Kunden hat Datenschutzbedenken" ist gegeben durch die Binomialverteilung:
$P_{2 n} (X = 0)$ $=$ $(\binom{2 n}{0}) \cdot {0,59}^{0} \cdot {0,41}^{2 n - 0}$
↓
Binomialkoeffizient ist 1. Außerdem ${0,59}^{0} = 1$
$=$ $1 \cdot 1 \cdot {0,41}^{2 n}$
$=$ ${0,41}^{2 n}$
Gleichermaßen ist die Wahrscheinlichkeit im Fall von $n$ Personen:
$P_{n} (X = 0)$ $=$ $(\binom{2 n}{0}) \cdot {0,59}^{0} \cdot {0,41}^{n - 0}$
↓
Binomialkoeffizient ist 1. Außerdem ${0,59}^{0} = 1$
$=$ $1 \cdot 1 \cdot {0,41}^{n}$
$=$ ${0,41}^{n}$
Gleichung untersuchen
Die Wahrscheinlichkeit für $2 n$ Personen soll halb so groß sein:
${0,41}^{2 n} \cdot 2 = {0,41}^{n}$
${0,41}^{2 n} \cdot 2$ $=$ ${0,41}^{n}$ $: {0,41}^{n}$
$\frac{{0,41}^{2 n}}{{0,41}^{n}} \cdot 2$ $=$ $1$
↓
Potengesetze
${0,41}^{n} \cdot 2$ $=$ $1$ $: 2$
${0,41}^{n}$ $=$ $\frac{1}{2}$
Wenn $0,41$ mit sich selbst multipliziert wird, wird das Produkt immer kleiner.
Das Produkt kann daher nie $0,5$ ergeben, sodass die gesuchte Zahl $n$ nicht existieren kann.
Stelle die Wahrscheinlichkeit für "Niemand hat Datenschutzbedenken" als Term dar. Setze die Gesamtzahl der Personen hier $2 n$ .
Stelle die gleiche Wahrscheinlichkeit für "Niemand hat Datenschutzbedenken" dar, wobei die Gesamtzahl der Personen im zweiten Fall $n$ ist.
Setze $P_{2 n} (X = 0) \cdot \frac{1}{2} = P_{n} (X = 0)$ und stelle die Gleichung um. Interpretiere das Ergebnis.

Bevor Fitnessarmbänder in den Verkauf gelangen, wird ihre Funktionsfähigkeit überprüft.

Erfahrungsgemäß sind $10 %$ der Fitnessarmbänder falsch eingestellt.

Berechnen Sie, wie viele Fitnessarmbänder mindestens überprüft werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ mindestens ein falsch eingestelltes Fitnessarmband zu entdecken. (3 BE)

An 5 Kontrollstationen werden jeweils 10 Fitnessarmbänder kontrolliert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens an einer Kontrollstation mindestens ein falsch eingestelltes Fitnessarmband entdeckt wird. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit $P (X \leq 1)$
Die Anzahl der defekten Armbänder $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 10$ , $p = 0,1$ und $k \geq 1$ .
Gegenereignis
↓
$P (X \geq 1)$ $=$ $1 - P (X = 0)$
↓
Binomialverteilung
$\approx$ $1 - 0,3487$
$=$ $0,6513$
Wahrscheinlichkeit für defekte Armbänder an höchstens einer Kontrollstation
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein defektes Armband wird hier als Parameter $p$ verwendet.
Es werden $n = 5$ Kontrollstationen untersucht und die Anzahl der Kontrollstationen mit defekten Armbändern " $Z$ " soll höchstens $1$ sein:
Verteilungsfunktion
↓
$P (Z \leq 1)$ $=$ $F_{5; 0,6513} (1)$
↓
Taschenrechner
$\approx$ $0,0533$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa $5,3 %$ .
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter $10$ Fitnessarmbändern mindestens eines defekt ist: $P (X \geq 1)$ .
Diese Wahrscheinlichkeit ist als Parameter $p$ für das nächste Zufallsexperiment zu betrachten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass "mindestens ein Defekt" an höchstens einer Kontrollstation gefunden wird. Diese ist auch binomialverteilt.

Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen → Was bedeutet das? serlo.org

$P (X \leq 1)$	$>$	$0,99$
	↓	Verwenden das Gegenereignis "Es ist kein Armband kaputt"
$1 - P (X = 0)$	$>$	$0,99$	$- 0,99$
$0,01 - P (X = 0)$	$>$	$0$	$+ P (X = 0)$
$0,01$	$>$	$P (X = 0)$
	↓	Binomialverteilung mit $n$ , $p = 0,1$ und $k = 0$
$0,01$	$>$	$(\binom{n}{0}) \cdot {0,1}^{0} \cdot {0,9}^{n}$
	↓	Binomialkoeffizient ist $1$ und ${0,1}^{0} = 1$
$0,01$	$>$	$1 \cdot 1 \cdot {0,9}^{n}$
$0,01$	$>$	${0,9}^{n}$	$\log_{0,9} ()$
	↓	Beim Anwenden vom Logarithmus mit einer Basis kleiner $1$ wird das Ungleichzeichen gedreht.
$\log_{0,9} (0,01)$	$<$	$n$
$43,7...$	$<$	$n$

$P_{F} (D)$	$=$	$\frac{P (D \cap F)}{P (F)}$
	↓	$P (F)$ von oben
	$=$	$\frac{P (D \cap F)}{0,3257}$
	↓	Baumdiagramm
	$=$	$\frac{0,59 \cdot 0,23}{0,3257}$
	$\approx$	$0,4166$

Verwenden des Gegenereignis
	↓
$P (X > 50)$	$=$	$1 - P (X \leq 50)$
	↓	Verwenden der Verteilungsfunktion
	$=$	$1 - F_{100; 0,59} (50)$
	↓	Taschenrechner
	$=$	$1 - 0,0427...$
	$\approx$	$95,72 %$

$P_{2 n} (X = 0)$	$=$	$(\binom{2 n}{0}) \cdot {0,59}^{0} \cdot {0,41}^{2 n - 0}$
	↓	Binomialkoeffizient ist 1. Außerdem ${0,59}^{0} = 1$
	$=$	$1 \cdot 1 \cdot {0,41}^{2 n}$
	$=$	${0,41}^{2 n}$

$P_{n} (X = 0)$	$=$	$(\binom{2 n}{0}) \cdot {0,59}^{0} \cdot {0,41}^{n - 0}$
	↓	Binomialkoeffizient ist 1. Außerdem ${0,59}^{0} = 1$
	$=$	$1 \cdot 1 \cdot {0,41}^{n}$
	$=$	${0,41}^{n}$

${0,41}^{2 n} \cdot 2$	$=$	${0,41}^{n}$	$: {0,41}^{n}$
$\frac{{0,41}^{2 n}}{{0,41}^{n}} \cdot 2$	$=$	$1$
	↓	Potengesetze
${0,41}^{n} \cdot 2$	$=$	$1$	$: 2$
${0,41}^{n}$	$=$	$\frac{1}{2}$

Gegenereignis
	↓
$P (X \geq 1)$	$=$	$1 - P (X = 0)$
	↓	Binomialverteilung
	$\approx$	$1 - 0,3487$
	$=$	$0,6513$

Verteilungsfunktion
	↓
$P (Z \leq 1)$	$=$	$F_{5; 0,6513} (1)$
	↓	Taschenrechner
	$\approx$	$0,0533$

Wahlteil - GTR

Aufgabe 2B

Knoten des Baumdiagramms

Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms

Person benutzt ein Fitnessarmband

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedeutung der Terme

Das Zufallsexperiment

Wahrscheinlichkeit P(X>50)

Beschreibung des Ereignisses

Werte für a und b

Terme der Wahrscheinlichkeiten

Gleichung untersuchen

Wert für n

Wahrscheinlichkeit P(X≤1)

Wahrscheinlichkeit für defekte Armbänder an höchstens einer Kontrollstation

Wahrscheinlichkeit $P (X > 50)$

Werte für $a$ und $b$

Wert für $n$

Wahrscheinlichkeit $P (X \leq 1)$